整数問題

質問

整数の組(x,y)が、1+2^x+2^(2x+1)=y^2を満たす。
このような整数解をすべて求めよ。

式を見た瞬間、2^x=Aと置きたくなりました。
1+A+2A^2=y^2
この式をいろいろ変形して考えていますが、解には届きません。
考えたのは
(1)(A+1)^2+A^2-A=y^2
　　(A+1-y)(A+1+y)=-A(A+1)
(2)４倍して、(2A+1)^2+(2A)^2+2^2=(2y)^2+1
(3)y奇数から、y=2k+1として2A^2+A=4k^2+4k
などと、ただ、当てもなく、ごちゃごちゃやっています。
アドバイスお願いします。

回答No.14

reiman · ベストアンサー

No.13 tmpnameさんのご指摘は最もなので修正させていただきます

2^x・(2^(x+1)+1)=(|y|-1)・(|y|+1)...(1)

x=-1のとき1=(|y|-1)・(|y|+1)だからy^2=2となり不成立
x<-1のとき(1)の左辺は整数にならないので不成立
よって0≦x

|y|が偶数の時：
　(1)において右辺と(2^(x+1)+1)が奇数なので2^xも奇数
　従ってx=0従って(1)より|y|=2

|y|が奇数の時：
　zを1以上整数として|y|=2・z-1とおけるので(1)は
　2^(x-2)・(2^(x+1)+1)=(z-1)・z...(2)
　となり(2)の右辺は偶数なので2<xである

　zが偶数のとき：
　　kを1以上奇数としてz=k・2^(x-2)とおけ(2)は
　　2^(x+1)+1=(k・2^(x-2)-1)・k
　　整理して
　　(k^2-8)・2^(x-2)-(k+1)=0
　　k=1の時には明らかに左辺は負
　　5≦kの時には
　　左辺>(k^2-8)-(k+1)=(k-5)^2+9・(k-5)+11>0
　　k=3としてみると2^(x-2)-4=0でありx=4となる
　　(1)に代入して|y|=23

　zが奇数のとき：
　　z-1が偶数なのでkを1以上奇数として
　　z-1=k・2^(x-2)とおけ(2)は
　　2^(x+1)+1=k・(k・2^(x-2)+1)
　　整理して
　　(k^2-8)・2^(x-2)+k-1=0
　　k=1の時には明らかに左辺は負
　　5≦kの時には明らかに左辺は正
　　k=3としてみると2^(x-2)+2=0であり不成立

以上まとめると
(x,|y|)=(0,2) or (x,|y|)=(4,23)

回答No.13

tmpname

少しだけ補足しておきますと、

結局は不適と分かりますが、xが負の場合x=-1の場合だけは2^x+2^(2x+1)が整数になるので一応但し書きが必要です。

回答No.12

reiman

もっと見やすく丁寧に書くと

2^x・(2^(x+1)+1)=(|y|-1)・(|y|+1)...(1)

|y|が偶数の時：
　(1)において右辺と(2^(x+1)+1)が奇数なので2^xも奇数
　従ってx=0従って(1)より|y|=2

|y|が奇数の時：
　zを1以上整数として|y|=2・z-1とおけるので(1)は
　2^(x-2)・(2^(x+1)+1)=(z-1)・z...(2)
　となり(2)の右辺は偶数なので2<xである

　zが偶数のとき：
　　kを1以上奇数としてz=k・2^(x-2)とおけ(2)は
　　2^(x+1)+1=(k・2^(x-2)-1)・k
　　整理して
　　(k^2-8)・2^(x-2)-(k+1)=0
　　k=1の時には明らかに左辺は負
　　5≦kの時には
　　左辺>(k^2-8)-(k+1)=(k-5)^2+9・(k-5)+11>0
　　k=3としてみると2^(x-2)-4=0でありx=4となる
　　(1)に代入して|y|=23

　zが奇数のとき：
　　z-1が偶数なのでkを1以上奇数として
　　z-1=k・2^(x-2)とおけ(2)は
　　2^(x+1)+1=k・(k・2^(x-2)+1)
　　整理して
　　(k^2-8)・2^(x-2)+k-1=0
　　k=1の時には明らかに左辺は負
　　5≦kの時には明らかに左辺は正
　　k=3としてみると2^(x-2)+2=0であり不成立

以上まとめると
(x,|y|)=(0,2) or (x,|y|)=(4,23)

回答No.11

reiman

いっぱい答えがでているので重複するかもしれませんが
私の回答を載せておきます

2^x・(2^(x+1)+1)=(y-1)・(y+1)...(1)

(x,y)が解ならば(x,-y)も解であるので以下0<yとする

a)yが偶数の時
(2^(x+1)+1)が奇数なので2^xも奇数
従ってx=0
従って3=(y-1)・(y+1)よりy=2

b)yが奇数の時
y=2z-1とおくと(1)は
2^(x-2)・(2^(x+1)+1)=(z-1)・z...(2)
であり2<xである
b1)zが偶数のとき
kを奇数としてz=k・2^(x-2)とおけ(2)は
2^(x+1)+1=(k・2^(x-2)-1)・k
整理して
8・2^(x-2)+1=k^2・2^(x-2)-k
k=1の時には左辺のほうが大きい
5≦kの時には右辺のほうが大きい
k=3としてみると2^(x-2)=4でありx=4となる
(1)に代入してy=23
b2)zが奇数のとき
z-1が偶数なのでkを奇数として
z-1=k・2^(x-2)とおけ(2)は
2^(x+1)+1=k・(k・2^(x-2)+1)
整理して
8・2^(x-2)+1=k^2・2^(x-2)+k
k=1の時には左辺のほうが大きい
5≦kの時には右辺のほうが大きい
k=3としてみると2^(x-2)=-2であり不成立

以上まとめると
(x,y)=(0,±2),(4,±23)

お礼

回答ありがとうございます
自分の考えがスムーズにいかなかったところが、
「z=k・2^(x-2)とおけ」の部分でした。
kに相当する値の求め方が、参考になりました

回答No.10

ringohatimitu

失礼しました。k=1のときにa+1が2で割り切れる場合をすっかり忘れていました。もう一つの解はfefさんのご指摘どおりです。更に自然数に限って考慮してたのでその点はmomordicaさんのご指摘どおりです。
頻繁に見落としなどがあると思うのでその都度行間を補って回答を見ていただければ有難いです。

さて以下に、k=1のときa+1が2で割り切れる場合の概略を書いておきます。やり方は既に書いたものとほぼ同じです。まずa+1=(2^n)bとしておきましょう。ここでbは2で割り切れない自然数とします。そのとき、前の回答のようにして、x=n+2と2^{n+3}+1=b((2^{n})b-1)が得られます。ここでX=2^nとおき、二番目の等式を

16X≧8X+1＝b(bX-1)≧{b^2 X}/2

と荒く変形して、bの取り得る値として1,3,5を得ます。あとはそれぞれの場合にnを求めればよいでしょう。

回答No.9

fef

ANo.8の訂正です．

ringohatimituさんの解答では y-1 を自然数とされているのを失念しておりました．
y = 1 も解となり得ないことを用いて，
　「y >= 2 とされている」
の間違いです．

回答No.8

fef

さらに補足です．

momordicaさんの指摘はもっともで，
“整数”と述べられているだけなので，x, y は負である可能性もありますね．
しかし，x が負の場合には明らかに方程式は満たされないので，すぐに x >= 0 が言えます．
また，方程式が y に関して正負対称なので y >= 0 の場合だけを考えればよく，
加えて y = 0 は解となり得ないので，
ringohatimituさんの解答では y >= 1 とされているのだと思います．

最終的な解としては，得られた y の値にマイナスをつけたものも書かなければなりませんね．

回答No.7

momordica

揚げ足取りに近いですが、x,yは整数という条件なので、
　(x, y)=(0, -2), (4, -23)
も解になりますね。

要するに、
　・xは自然数に限定されていないので、2^xは偶数であるとは限らないということ
　・2^xが偶数である場合には、y-1, y+1は連続する２つの偶数になるので、
　　一方だけが４の倍数であるということ
の２点さえ気づけば、後は（１）の式から何とかできるだろうと思います。

回答No.6

fef

ringohatimituさんの解答に補足します．

k = 1 の場合には y + 1 が 2 で2回割り切れるので，
議論からこの場合は除外しなければなりません．
結果的に
　x = 4, y = 23
も解になります．

回答No.5

ringohatimitu

方針はA(2A+1)=(y-1)(y+1)でいいと思います。次にy+1が2を素因数にどれだけ持ってるかに注目します。
y-1=(2^k)aとしておきましょう。ここでaは2で割り切れないとします。このとき、もし「k≧1」であれば、y+1は2で一回だけ割り切れることに注意すると、両辺比較して、A=2^{k+1}が得られます。
後はこれを代入して、
2^{k+2}+1=a((2^{k-1})a+1)が成立します。しかし、例えばa≧3のとき右辺は左辺より真に大きくなることが分かるのでa≦2でなければなりません。更に、aに対する仮定から結局a=1しかあり得ません。ところがこれは等式を満たしていません。最終的に何が得られたかというと「k≧1」という仮定が偽であったということです。従って、k=0、すなわち、A=1(x=0)、y=2が求める整数解のすべてです。

お礼

回答ありがとうございます
y-1=(2^k)aとしておきましょう。のところが、自分の解答でできなかったところでした。
aに相当する値の求め方が参考になりました

回答No.4

reiman

No.3 A=2^x:奇数 を削除