整数解の問題の解法

質問

6x^2+20xy+17y^2=59 を満たす整数解(x,y)を求めよ。

xの方程式とみて、解の公式を用いて、
　x={-10y±√(6*59-2y^2)}/6
√の中がプラスだから、y=0,±1,.......±13
　また、√の中が平方数から、y=±13,±7になる。

(1)　yの絞り込みをこのように考えましたが、簡単な方法はありますか。
(2)　この他に結局は同じことではあるが、平方完成の変形をして、文字を絞り込む
　　解法もあると思いますが、この他の解法はどんなのがありますか

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

これを座標で考えると、判別式から楕円族であることがわかる。
しかし、それを使うにしても、スマートな解法が思いつかないんだが。

条件式を変形すると、(2x+3y)＾2＋2*(x+2y)＾2＝59 となる。
2x+3y＝α、x+2y＝β　とすると、α＾2＋2β＾2＝59.　そこで、β＾2＜30より　β＾2＝0、1、4、9、16、25　として行くと　適するのは　α＾2＝9　のみ。
2x+3y＝±3、x+2y＝±5　の4通りの方程式から　整数解を求めるだけ。

お礼

回答ありがとうございます
2*(x+2y)＾2の方から絞り込んだ方が良かったのですね。
当たり前と言えば当たり前なのですが・・・

補足

(2x+3y)＾2＋2*(x+2y)＾2＝59
の変形のコツのようなものはあるのでしょうか

回答No.2

mister_moonlight

＞変形のコツのようなものはあるのでしょうか

そんなものはない。
着想は、αとβは整数として　α＾2＋β＾2＝整数　という形にならないか？　という事。
そこで着目したのは、xyの係数の20。いくつかの組合せをやってみたら、そうなっただけに過ぎない。
“xyの係数”に着目するのは　生活の知恵(＝慣れ)かな？。。。。。。。ｗ

それと、答えたくなければ答えてくれなくて良いんだが。
君の質問はなかなか面白い問題が多いし、質問が目に付いて、その時に私に時間があれば楽しませてもらっているが、質問の出典は何なんだろうか？
一度、聞いてみたかったんで。。。。。。。ｗ

お礼

回答ありがとうございます
式変形になにかコツがあるとおもい、それがわかればもう少しは
問題をとけるようになるのかと思いました。

大学入試の過去問（大多数）、数学検定、数学オリンピックが出典です。