二次不定方程式の解法

質問

二次不定方程式

5x^2 - 2xy - 16x - 4y^2 - 18y + 2 = 0

の整数解を求める方法を教えて下さい。

5x^2 - 2xy - 16x - 4y^2 - 18y = -2

としても、左辺を因数分解できそうにもありません。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

5x^2-2xy-16x-4y^2-18y+2=0…（1）
4y^2+2(x+9)y-(5x^2+16x-2)=0

yに関する2次方程式とみて解くと、
y=(-(x+9)±√(21x^2-46x+89))/4 …（2）

(1)が整数解を持つには（2）の根号内の値が平方数でなければならない。
(2)の根号の中は　(21x-4)(x-2)+81 と変形できるから、x=2のとき81=9^2

このとき(2)　よりy=(-11±9)/4=-1/2,-5
少なくとも一つの整数解は、(x,y)=(2,-5)

-100≦x≦100の範囲をパソコンで調べるとこのほかに以下の解がありました。(x,y)=(-20,27),(20,-29),(34,27)

解はこのほかにもあり、例えば(x,y)=(436,387)もそうです。複雑な一般解の式がありそうです。

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。