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数II高次方程式
x²+xy-6y²-x+7y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるように整数kの値を定める。また、このときの与式を因数分解する。 教えてください。
- seisyunnno
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- 178-tall
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>x²+xy-6y²-x+7y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるように整数kの値を定める。 たとえば、 x^2 +(y-1)x -6y^2+7y+k = 0 …(1) なる x の 2 次方程式とみなすのが事務的な手口らしい。 (1) を、 {x + (y-1)/2}^2 - (y-1)^2/4 - (6y^2-7y-k) = 0 …(1)' と変形したとき、左辺の後ろ 2 項 (の負号を外したもの) が y 多項式の 2 乗形になればよい。 つまり、 (y-1)^2/4 + (6y^2-7y-k) = (1/2)^2 { (y-1)^2 + (24y^2-28y-4k) } = (1/2)^2 { (y^2-2y+1) + (24y^2-28y-4k) } = (1/2)^2 (25y^2 - 30y + 1-4k ) …(2) の判別式 Dy を零とする k を求める…という算段。 あとは、ひたすら勘定。 Dy = 30^2 - 100(1-4k) = 800 + 400k = 0 k = -2 …(3) >また、このときの与式を因数分解する。 残務は、因数分解への逆行。 (3) を (2) へ代入すれば、 25y^2 - 30y + 1-4k = 25(y - 3/5)^2 のはずだから (y-1)^2/4 + (6y^2-7y-k) = (5/2)^2 (y - 3/5)^2 これを (1)' の左辺へ入れれば、 {x + (y-1)/2}^2 - (y-1)^2/4 - (6y^2-7y-k) = {x + (y-1)/2}^2 - (5/2)^2 (y - 3/5)^2 = {x + (y-1)/2 + (5/2)(y - 3/5) } {x + (y-1)/2 - (5/2)(y - 3/5) } = {x + 3y - 2) (x - 2y + 1) 要らざることを考えない事務手続きだと、かなり長めになりますネ。
- gohtraw
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与式が (x+py+q)(x+ry+s) と因数分解できるとすると、これを展開した時の係数を元の式と比較して xyの係数:p+r=1 y^2の係数:pr=-6 p=3、-2、r=-2,3 よって与式は (xー2y+q)(x+3y+s) さらに係数比較して xの係数:q+s=-1 yの係数:3qー2s=7 q=1、s=-2 よって与式は (xー2y+1)(x+3y-2)
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