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図形と方程式
方程式x^2-2xy-3y^2+8y+k=0 のグラフが2本の直線を表すとき、2本の直線の式とkの値は? という問題なのですが、 解説に、これが1次式の積に因数分解できるとき、 2直線を表すとかいてあったのですが、なぜでしょうか?教えてください、よろしくお願いします。
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もし、x^2-2xy-3y^2+8y+kが (1次式f)×(1次式g) というふうに因数分解できたとします。 すると、 (1次式f)×(1次式g)=0 ですから、 (1次式f)=0、(1次式g)=0・・・(1) となります。 「1次式=0」という式は直線の式ですから、(1)は2つの直線「(1次式f)=0」と「(1次式g)=0」を意味していることになり、つまりは、もとの式が2つの直線を表してることになります。
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- info22
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x^2-2xy-3y^2+8y+k =(x+y-2)(x-3y+2) と因数分解できたとすると x^2-2xy-3y^2+8y+k=0を満たす点(x,y)は (x+y-2)(x-3y+2)=0も満たしますね。 つまり、点(x,y)は、2本の直線 x+y-2=0 と x-3y+2=0 .... (1) のどちらかの一方、または、両方を満たす点でも あるわけですね。 言い換えれば、点(x,y)は2本の直線上の点というわけです。どちらの直線上にあるかは分かりませんが、2本の直線のどちらの上の任意の点(x,y)でもありうるとき、点(x,y)は、(1)の2本の直線を表すというわけですね。 因数分解自体は、xの2次式と見なして、因数分解をすればいいですね。
- ken1tar0u
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一次式の積に分解されるということは次の形になるわけですね。 (ax + by + c)(sx + ty + u) = 0 これはつまり、 (1) ax + by + c = 0 または (2) sx + ty + y = 0 が成り立つということと同じです。(最初の式のかっこの中をそれぞれ A, B と置き換えたら、A×B=0 ですから、A = 0 または B = 0 ですよね。) ここで改めて (1) (2) それぞれの式を見ると、どちらも直線の方程式ですよね。だから最初の式がこれら (1) と (2) で表される2本の直線を表していたわけです。 (ただし a = b = 0 の場合は (1) は不定になります。s = t = 0 の場合の (2) も不定。そもそも x と y の係数が両方とも 0 だったら、1次式じゃなくて0次式です。)
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