数学の解の条件について

質問

x^2＋4y^2＋5xy＋ax-2y-2が、x,yについての２つの１次式の積で表される時aの値は？という問題です

画像の解説の意味が全く理解できません。

x,yの一次式の積で表されるとは、(x＋2)(y＋2)←みたいに表されるということですよね？
それを示すために、なぜxの二次方程式が完全平方で表されるということが必要なんですか？

まったく意味がわからず困っています、詳しい解説をいただけるとありがたいです。

回答No.7

FT56F001

/*　本カテに集まる大先生方が，お揃いで回答しているので，
　　末席を汚すのが恐ろしいのですが・・　*/

本解説の「要点」である「完全平方式⇔D=0」に対して，
例題が複雑すぎて，完全平方式と判別式の関係が，読み取りにくいかもしれません。

このページの解説では，判別式と完全平方式の関係が，別の形で二度使われます。

(1) f(x)=x^2+bx+cが完全平方式となる，すなわちf(x)=(x-α)^2と書ける
⇔　D1=b^2-4c=0

(2) 有理数係数の二次式g(x)=x^2+Bx+Cが一次式の積に因数分解できて，
その係数にルートを含まない。
すなわち，g(x)=x^2+Bx+C=(x-α)(x-β)となって，α，βにルートを含まない。
⇔　D2=B^2-4Cのルートがとれる　⇔　D2は完全平方式，すなわちD2=(***)^2の形に書ける

こういった性質(定石?)を覚えておいて，パターンマッチしたり，組み合わせたりして解く方法が一つ。
でも，#5先生おっしゃるように正直に(力任せに?)計算して解いても，そんなに手間は変わりません。

知っている定石のパターンで，それを適用して解ければラッキー。
あてはまらなければ，じっくりと考えてみる，
あるいは力任せに計算してみる，
ときには計算の迷路に迷い込んでしまう，
そうやってナントカ解く。

回答No.6

Tacosan

ことの発端は「質問者の読み誤り」だと思う＞#5. 解説には
「x の 2次方程式の『判別式が』完全平方式となればよい」
と書いてあるにもかかわらず, なぜか質問者は
「xの二次方程式が完全平方で表されるということが必要」
と読んじゃってる.

もちろんこの問題に関して言えば 2次の部分が容易に因数分解できるわけだから, 「単純な計算問題」という #5 の見解については同意.

回答No.5

mister_moonlight

＃4が正しく、＃2と＃3は間違い。

この方法で理解できなければ、x^2の係数が1であることに注意して　x^2＋4y^2＋5xy＋ax-2y-2＝(x+my+n)*(x+αY+β)として、右辺を展開して左辺の係数と比較すればよい。
単純な計算問題になる。

回答No.4

stomachman

別におかしくはないでしょう。

　a, yは定数だと思えば、
　　x^2＋4y^2＋5xy＋ax-2y-2=0
　　(x+sy+t)(x+uy+v)=0
はどっちもxの二次式方程式であり、そして両者の解が一致するはずだ、という訳です。つまり
　　x^2＋(5y＋a)x＋(4y^2-2y-2)=0
の解が-(sy+t)と-(uy+v)になるということ：
　　-(sy+t) = -((5y＋a)+√D)/2, -(uy+v)= -((5y＋a)-√D)/2 …(1)
です。ただし
　　D=(5y＋a)^2-4(4y^2-2y-2)
である。
　ここで、yは実は変数でしたー、という話に戻します。すなわち「あらゆるyについて(1)が成立つ」ような条件を求める。
　すると、(1)の右辺にyを含む平方根が残っていちゃいけない。yの1次の項と定数項以外が出て来ないということ、言い換えれば、yの一次式 Z=αy+β が存在して、
　　D=Z^2
になること、つまり、Dが完全平方式であることが、あらゆるyについて(1)が成立つための必要十分条件です。
　Zを決めるには、
　　(αy+β)^2 = D
を展開して各項の係数を比較するか、あるいは、D=0が重解を持つ条件を調べるのでも良い。これでaが決まり、(1)は
　　-(sy+t) = -((5y＋a)+Z)/2, -(uy+v)= -((5y＋a)-Z)/2 …(1')
と決まる。

回答No.3

B-juggler

Ｎｏ．２さんにおなじく。

この問題集はおかしいと思うよ。

＞x,yの一次式の積で表されるとは、(x＋2)(y＋2)←みたいに表されるということですよね？

う～んと、これは、ちょっと違うんだ。

＝（ｘ＋ｙ＋２）（２ｘ＋３ｙ＋１）　と言うような例に

なればいいだけの話し。

ここで完全平方は関係ないです。

ちょくちょくこの問題集から質問をされているけれど、

この問題集自体を疑ってみたほうがいいかもね。

えっと、それから、数学は暗記科目ではないからね！

　＃解き方覚えて点数だけ取れればいいや！　だったらやめておいたほうがいい。

　＃やっている意味がない。

と言うことで、解き方は多分もういいね。

考え方だよ！大事なのは。

この問題では、ｘ、ｙの二次方程式が、それぞれ一次方程式の積で

表せるように定数を定めればよろしい。

それをどうするか！　その方針を立てて、実際に計算するのが数学という学問です。

まだ算数だけどね（大学でやるのまでは）。

x^2＋4y^2＋5xy＋ax-2y-2

が与式ですから、　ｘ＾２の係数が１だね。

また、ｙ＾２の係数が４だから、（ｘ＋２ｙ＋ｑ）（ｘ＋２ｙ＋ｐ）　とおくか、

　＃これは分かるよね？　ｙ＾２がでるのは、一次方程式のｙの項だけだね。

（ｘ＋ｙ＋ｑ）（ｘ＋４ｙ＋ｐ）　とおくかだね。

さて、どっちだ？　ｘｙの係数が５だと言うことに着目すると？

後者だと分かる。　ついでにｑ、ｐは展開して当てはめればＯＫ。

その上で、ａを成立させるようにもって行けばいい。

と言うほう方が１つ、今頭に浮かんだ。

もちろんこれがすべてではない。もっと簡単な方法があることも気がついてますよ。

いい？大事なのは暗記や解き方ではない。

どうやったら解けるか、しっかりと道筋を出すこと。

こうやって分からない納得できないことがあれば、聞いて見ること。

くれぐれも暗記教科にしないこと！

Ａｌｉｃｅ先生　（Ｎｏ．２さん）には遠く及ばないけど、

代数学の元非常勤でした。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.2

alice_44

違います。
x,y の一次式の積で表されるとは、
(2x+3y+4)(5x+6y+7) のようなことを言います。

問題の式を、(y を係数に含む) x についての
二次式と見ればよいのです。
完全平方になる必要はありません。
任意の y において因数分解できれば十分です。

回答No.1

ennalyt

数学は、今の自分の到達レベルと、教材のレベルとがずれてると、
効果が上がりません。
レベル高すぎたら解らなくて悩み続けるし、(今そうだよね)
レベル低すぎたら時間の無駄だし。

一旦これを離れて、Focusや白チャートのような網羅系問題集の、
例題を覚えてしまう解法暗記をしてしまったらどうでしょう？

将棋や囲碁は定跡といって、頻出パターンを覚えておいて、どれが最適解かを試行していくのですが、
数学も同じで、チャートの例題は全部いつでも頭から引き出せる状態にしておかないと、
実際の入試問題で全く歯が立ちません。