数II 一次式の積に因数分解する問題

質問

問)2x^2-3xy-ky^2-10x+(7-k)y+12　が一次式の積となるような定数kの値を定めよ。

解)
xについての2次方程式
2x^2-(3y+10)x-ky^2+(7-k)y+12=0 …(1)
の判別式をDとすると、(1)の解は、　x=(3y+10±√D)/4　より、与式は、
　(与式)=2{x-(3y+10+√D)/4}{x-(3y+10-√D)/4}
と因数分解できる。

D=(8k+9)y^2+2(4k+2)y+4
8k+9=0　つまり、　k=-9/8　のとき、　D=-5y+4
となり、与式はx,yの一次式の積とはならない。　…☆

k≠-9/8　のとき…略
(多分、この先はわかります)

☆について理由がわかりません。
√が外れないと何故一次式ではなくなるのでしょうか。
もし、√を外さなかったら何次式になりますか。
(一次式の定義も一緒に教えてください。)

回答No.1

tmiyoshi · ベストアンサー

D = (9+8k){y^2 + 4(1+2k)y/(9+8k)} + 4

= (9+8k)(y + 2(1+2k)/(9+8k))^2 + {4 - 4(1+2k)^2/(9+8k)^2}

従って、4 - 4(1+2k)^2/(9+8k)^2 = 0 から

(3k+4)(k+1) = 0

k = -1 又は -4/3

k=-1の時、√D = y-2 となりx,yの一次式になる。

k=-4/3の時、√(9+8k) = √-5/3　となるので√Dは虚数になる。

従って、k = -1

（この場合、k=-9/8 の議論は必要ないと思います。）

お礼

ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

一次式に虚数や中身が定数でない平方根(例:√(-3y+2))が含まれることはないのでしょうか。