不定方程式？

質問

調べてはみたのですが、どうしてもわからなかったのでお願いします・・。

5x+y+9xy＝48

という式だけ与えられとき、式がひとつの方程式なので、x,yの解は無限個存在するのはわかりました。
（例えば　y＝0とすればx＝48/5　など）

ですが、x,yが自然数解と限定されているとき、
自然数x,yをすべて求める方法はあるのでしょうか？

ちなみに上記の式の場合のx,yの自然数解は
（x＝2,y＝2）や（x＝0,y＝48）などですが、
同じ形の方程式

Ax+By+Cxy＝D (A,B,C,Dは自然数)

について、x,yに自然数解があるとき、自然数x,yをすべて求める方法
はあるのでしょうか。

自分でもいろいろ調べてみたのですが、同じ形の方程式がなかなか出てこずに困っています。回答よろしくお願いします。

回答No.4

sunasearch · ベストアンサー

＞一般解をつくったりすることはできないんですかね・・。

素因数分解の一般解を書けないのと同じで、無理かと思います。計算機でプログラム書けば、めんどくさくはないんですけどね。。。

ただ、A=a^2*b^3*c^4と素因数分解できたとすれば、
最大で、3*4*5=60通りを試せばよいことがわかります。

お礼

ありがとうございます！！納得がいきました！！ご丁寧な説明ありがとうございました！！

回答No.3

yoikagari

#2です。
Cで割った余りに注目すれば、Cx+BやCy+Aになる自然数の候補をある程度絞れると思います。

お礼

何度もありがとうございます！なるほど・・。参考になりました。

回答No.2

yoikagari

Ax+By+Cxy＝D
両辺にCを掛けると
ACx+BCy+C^2xy=CD
両辺にABを加えて
C^2xy+ACx+BCy+AB=AB+CD
左辺を因数分解して
(Cx+B)(Cy+A)=AB+CD

よって、Cx+BやCy+AがAB+CDの約数になりますので、AB+CD≠0であれば、xやyの候補は有限個に絞られます。

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございます。一般解をつくったりすることはできないんですかね・・。できれば総当り式以外の方法での解法があったらいいんですけど・・。

回答No.1

sunasearch

総当り的に求めるしかないのですが、

Ax+By+Cxy＝D (A,B,C,Dは自然数)

は、(Cx+B)(Cy+A)=AB+CD
と変形できますので、

AB+CDを素因数分解して、その約数の積として、
x,yを求めるのがよいのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございます！やはり総当り的に求めるしかないんでしょうか・・