微分方程式

質問

(１)x>0でx^2y''+xy'-y=0(*)という問題でy=xが解であることを求めたのですが、yと独立な微分方程式(*)の解が求められません。
(２)x^2(d^2y/dx^2)-2y=0の解き方をいろいろ調べて試したのですがどうしても解けません。
この二点について途中式等詳しく教えていただけないでしょうか？お願いします。

回答No.3

eliteyoshi · ベストアンサー

オイラーの微分方程式をご存知ですか？証明方法は教科書に載っていると思いますので省略しますが、
x^2(d^2y/dx^2)+ax(dy/dx)+by=0
について、x=e^tとすると、
(d^2y/dt^2)+(a-1)(dy/dt)+by=0
となります。よって、以下のように解きます。

(1)
x^2(d^2y/dx^2)+x(dy/dx)-y=0
x=e^tとすると、

(d^2y/dt^2)+(1-1)(dy/dt)-y=0
(d^2y/dt^2)-y=0 ・・・(a)
となり、特性方程式はy=e^(λt)とすると、
λ^2-1=0
λ=±1
であり、(a)の解は
y=Ae^(-t)+Be^t (A,Bは任意定数)
となるから、x=e^tより、

∴ y=(A/x)+Bx

(2)
x^2(d^2y/dx^2)-2y=0
(1)と同様に、y=e^tとすると
(d^2y/dt^2)-(dy/dt)-2y=0 ・・・(b)
であり、特性方程式は
λ^2-λ-2=0
(λ+1)(λ-2)=0
λ=-1,2
だから、(b)の解は
y=Ae^(-t)+Be^2 (A,Bは任意定数)
となるから、x=e^tより、

∴ y=(A/x)+Bx^2

となります。

お礼

この場を借りて皆さんにお礼を申し上げます。どうもわかりやすい解説、参考等ありがとうございました

回答No.5

yaksa

すでに答えが出ているので、以下は蛇足です。

(1)については特解が１つ分かってるので、階数を下げて１階線形微分方程式に帰着させて解くこともできます。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node22.html

(2)についてもちょっと見るとx^2 が特解になっていることがわかるので、それを使って同じことができます。

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node22.html

お礼

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回答No.4

yukito777

#1,#2です。
線形独立な二つの解を出した後に線形結合に
するのを忘れてました（^^;;
#3さんのご指摘どおり（１）はy=y=(A/x)+Bx
（２）はy=(A/x)+Bx^2　ですね。
#3さんのご指摘にありましたオイラーの微分方程式
ですが、これは一般に(x^2)y"+axy'+by=R(x)形の
微分方程式に有効です。今回はそれでもとけますけど
斉次なのでx^aの予想の方が簡単だと思います(^^;;
非斉次二階線形は一般に解き方がないのですが、
この場合は変数変換により解を求めることができます。

お礼

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回答No.2

yukito777

（２）も、(d^2y/dx^2)=y"ですから
（１）と同様にy=x^aと予想して代入します。
解はy=1/x,x^2だと思います。
a(a-1)x^(a-2)=a(a-1)x^a・x^(-2)
ax^(a-1)=ax^a・x^(-1)
と変形するのがミソですね。

お礼

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回答No.1

yukito777

とりあえず（１）から
両辺をx^2で割って、解をy=x^aと予想して代入。
a(a-1)x^(a-2)+(1/x)ax^(a-1)+x^a=0
両辺を(1/x^2)x^aで割ると
a(a-1)+a-1=0
するとa=1,-1が得られます。
よって解はy=x,1/x

お礼

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