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微分方程式

(1)x>0でx^2y''+xy'-y=0(*)という問題でy=xが解であることを求めたのですが、yと独立な微分方程式(*)の解が求められません。 (2)x^2(d^2y/dx^2)-2y=0の解き方をいろいろ調べて試したのですがどうしても解けません。 この二点について途中式等詳しく教えていただけないでしょうか?お願いします。

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  • 回答No.3

 オイラーの微分方程式をご存知ですか?証明方法は教科書に載っていると思いますので省略しますが、 x^2(d^2y/dx^2)+ax(dy/dx)+by=0 について、x=e^tとすると、 (d^2y/dt^2)+(a-1)(dy/dt)+by=0 となります。よって、以下のように解きます。 (1) x^2(d^2y/dx^2)+x(dy/dx)-y=0 x=e^tとすると、 (d^2y/dt^2)+(1-1)(dy/dt)-y=0 (d^2y/dt^2)-y=0 ・・・(a) となり、特性方程式はy=e^(λt)とすると、 λ^2-1=0 λ=±1 であり、(a)の解は y=Ae^(-t)+Be^t (A,Bは任意定数) となるから、x=e^tより、 ∴ y=(A/x)+Bx (2) x^2(d^2y/dx^2)-2y=0 (1)と同様に、y=e^tとすると (d^2y/dt^2)-(dy/dt)-2y=0 ・・・(b) であり、特性方程式は λ^2-λ-2=0 (λ+1)(λ-2)=0 λ=-1,2 だから、(b)の解は y=Ae^(-t)+Be^2 (A,Bは任意定数) となるから、x=e^tより、 ∴ y=(A/x)+Bx^2 となります。

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  • 回答No.5
  • yaksa
  • ベストアンサー率42% (84/197)

すでに答えが出ているので、以下は蛇足です。 (1)については特解が1つ分かってるので、階数を下げて1階線形微分方程式に帰着させて解くこともできます。 http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node22.html (2)についてもちょっと見るとx^2 が特解になっていることがわかるので、それを使って同じことができます。

参考URL:
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node22.html

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  • 回答No.4

#1,#2です。 線形独立な二つの解を出した後に線形結合に するのを忘れてました(^^;; #3さんのご指摘どおり(1)はy=y=(A/x)+Bx (2)はy=(A/x)+Bx^2 ですね。 #3さんのご指摘にありましたオイラーの微分方程式 ですが、これは一般に(x^2)y"+axy'+by=R(x)形の 微分方程式に有効です。今回はそれでもとけますけど 斉次なのでx^aの予想の方が簡単だと思います(^^;; 非斉次二階線形は一般に解き方がないのですが、 この場合は変数変換により解を求めることができます。

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  • 回答No.2

(2)も、(d^2y/dx^2)=y"ですから (1)と同様にy=x^aと予想して代入します。 解はy=1/x,x^2だと思います。 a(a-1)x^(a-2)=a(a-1)x^a・x^(-2) ax^(a-1)=ax^a・x^(-1) と変形するのがミソですね。

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  • 回答No.1

とりあえず(1)から 両辺をx^2で割って、解をy=x^aと予想して代入。 a(a-1)x^(a-2)+(1/x)ax^(a-1)+x^a=0 両辺を(1/x^2)x^aで割ると a(a-1)+a-1=0 するとa=1,-1が得られます。 よって解はy=x,1/x

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