不定方程式です

質問

教えて欲しいことがあります。

　「2x^2+3xy-2y^2+x+7y=5を満たす自然数の組（x,y）をすべて求めよ。」

　この解答を見ると、

　「(x+2y)(2x-y)+x+7y=(x+2y)(2x-y)+A(x+2y)+B(2x-y)

　とおいて、x,yに関する恒等式とみて定数A,Bを定める。」

　とあります。そう置けば確かに答えまでいくのでしょうが、「A(x+2y)+B(2x-y)」と
おくことがなぜ可能なのでしょうか。そのようなA,Bが存在することが前提になる
のでしょうが、そこが理解できません。

　よろしくお願います。

回答No.2

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは。

　整数の問題の場合、和の形より積の形のほうが

　解の可能性が少ないですよね。

　　「整数問題では、ｕ＋ｖ＝１２　よりも　ｕ×ｖ＝１２　のほうが解の可能性が少ない。」

　それで二次の式の場合、積の形にするのです。

　回答者１の方の答えのように、2次の部分を因数分解（つまり積の形）にします。

　つまり、予式＝(x+2y)(2x-y)+x+7y

　　ここで一次の部分ですが、因数分解した部分の因数で表すと

　　ＡＸＹ＋ＢＸ＋ＣＹの形にできますね。・・・・(1)理由後述

　　そこで、x+7y=A(x+2y)+B(2x-y)　とおくわけです。

＞＞「A(x+2y)+B(2x-y)」とおくことがなぜ可能なのでしょうか。
＞＞そのようなA,Bが存在することが前提になるのでしょうが、
＞＞そこが理解できません。

　この部分は、ｘとｙの係数が（１，２）と（２、－１）ですから、（１，７）は

　A(x+2y)+B(2x-y)とおくことが可能ですよね、係数をベクトルとして、見ると

　ベクトル（１，２）と（２、－１）は一次独立ですから、
　（１，７）ははその一次形式Ａ（１，２）＋Ｂ（２、－１）であらわせますからね。

　これでお分かりでしょうか。

　(1)の理由ですが、ＡＸＹ＋ＢＸ＋ＣＹの形だと、定数を加えれば積の形（因数分解）に

　もっていけるという、整数問題では定番の考え方です。

　　つまり全体として考えれば、どのようにして「元の式を、積＝整数」の形にするか

　　と言うことで、解の可能性を減らしていっていると言うことです。

お礼

mnakauyeさん

　ご回答いただきありがとうございました。
　もう少し考えて見たいと思います。

回答No.1

spring135

これは元の式の面倒な部分

2x^2+3xy-2y^2＝(x+2y)(2x-y)

のように因数分解できることに目を付けたやり方で整数解を求める基本的な方法である、「式の単純化」の一環と考えられます。

A,Bは

x+7y＝A(x+2y)+B(2x-y)＝(A+2B)x+(2A-B)y

より

A=3,B=-1

となり、

＞「A(x+2y)+B(2x-y)」とおくことがなぜ可能なのでしょうか

x+7y＝A(x+2y)+B(2x-y)

とおくことは可能です。

この先は

P=x+2y, Q=2x-y

とおいて

PQ+3P-Q=5

(P-1)(Q+3)=2

よって

P-1=1、Q+3=2

または

P-1=2,Q+3=1

を

x,yの式に直して考えればできます。

お礼

spring135さん

　ご回答いただきありがとうございました。
　もう少し考えて見たいと思います。