x^2+y^2=n×p (nは整数)を満たす互いに素な自然数x,yが存

質問

x^2+y^2=n×p (nは整数)を満たす互いに素な自然数x,yが存在する奇素数pについて、
a^2+b^2=p^2を満たす互いに素なa,bは必ず存在するでしょうか?

換言しますと、奇素数pについて、nを自然数とするとき
「x^2+y^2=n×pとなる互いに素な自然数の組x,yが存在する」と
「a^2+b^2=p^2となる互いに素な自然数の組a,bが存在する」は同値でしょうか?

先ほど似た質問をさせていただいたのですが、
http://okwave.jp/qa/q6216279.html
ミスがあり改めて質問し直しました。

私の確認したところでは
(a,b,p)=(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)で成り立ちます。
pが3,7,11,19のとき、条件を満たすx,yもa,bも存在しません。

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

結論から言うと、以下のようなことがいえます。

正の整数nがn=x^2 +y^2 (x,yは互いに素な正整数)とかける必要十分条件は
n=(p_1)^(k_1)*・・・*(p_k)^(h_k) (p_1，・・・，p_kは相異なる4で割ると1余る素数)
またはn=2(p_1)^(k_1)*・・・*(p_k)^(h_k) (p_1，・・・，p_kは相異なる4で割ると1余る素数)
であることがいえます。

証明は、複雑で長いのでここでは書けないですね。
詳しいことは、シュプリンガーフェアラーク東京から出版されている、G.H. ハーディ , E.M. ライト 著の 数論入門(I)と数論入門(II)に書いてあります。

上記命題を用いるとx^2+y^2=n・pとかける奇素数pは4で割って1余るものに限られます。
よって再び上記命題より、p^2が互いに素な正の整数u,vを用いてu^2 +v^2=p^2と書けることがわかります。

補足

回答ありがとうございます。

「pが4で割って1余る数」⇔「x^2+y^2=n×pとなる互いに素な自然数の組x,yが存在する」
「p^2が4で割って1余る数」⇔「a^2+b^2=p^2となる互いに素な自然数の組a,bが存在する」
であり、左の命題は同値なので、私の疑問の答えは「同値である」となりますか?

回答No.2

yoikagari

結論から言って、あなたの予想は正しいと思いますよ。