奇素数pについての整数の組と互いに素な自然数の組の存在
- 奇素数pについて、x^2+y^2=n×pを満たす整数x,y,nが存在するかどうか、またa^2+b^2=p^2を満たす互いに素な自然数の組a,bが存在するかどうかについて質問があります。
- 質問者は先ほど似た質問をしたが、そのときは「互いに素」が確認したかったが、この質問では改めて質問をし直しました。
- 質問者の確認結果によれば、2つの平方数の和が奇素数pの倍数になる場合と、互いに素な自然数の組が存在する場合があるとされています。
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x^2+y^2=n×pを満たす整数x,y,nが存在する奇素数pについて
x^2+y^2=n×pを満たす整数x,y,nが存在する奇素数pについて、 a^2+b^2=p^2を満たす互いに素なa,bは必ず存在するでしょうか? 換言しますと、奇素数pについて 「x^2+y^2=n×pとなる整数の組x,y,nが存在する」と 「a^2+b^2=p^2となる互いに素な自然数の組a,bが存在する」は同値でしょうか? 先ほど似た質問をさせていただいたのですが、 http://okwave.jp/qa/q6216192.html 私が確認してるのは「互いに素」でしたので改めて質問し直しました。 私の確認したところでは 2平方数の和がpの倍数にならないもの→3,7,11,19 2平方数の和がp倍数になり、且つp^2を満たすa,bが存在するもの→5,13,17 3^2+4^2=5^2, 5^2+12^2=13^2, 8^2+15^2=17^2
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> x^2+y^2=n×pを満たす整数x,y,nが存在する奇素数pについて、 全ての奇素数pがこの条件を満たします。 ピタゴラス数の組をs, t, uとおけば(s^2 + t^2 = u^2が成り立つとします)、 x = ps, y = pt, n = pu^2となれば全ての素数がx^2+y^2=n×pを満たします。 なにか条件が抜けていませんか？ > a^2+b^2=p^2を満たす互いに素なa,bは必ず存在するでしょうか? p = 3の時、a, bに当てはまる自然数が存在しません。 > 私の確認したところでは > 2平方数の和がpの倍数にならないもの→3,7,11,19 > 2平方数の和がp倍数になり、且つp^2を満たすa,bが存在するもの→5,13,17 > 3^2+4^2=5^2, 5^2+12^2=13^2, 8^2+15^2=17^2 申し訳ないのですが、ここの部分で何を言いたいのかが分かりません。 どの数字がa, bやpに当てはまるのでしょうか。
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補足
回答ありがとうございます。 観察結果を上手く問題文に変換できてなくて申し訳ないです。 ＞なにか条件が抜けていませんか？ 「x,yは互いに素」も必要でした。 ＞どの数字がa, bやpに当てはまるのでしょうか。 (a,b,p)=(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)です。 pが、3,7,11,19のとき、条件を満たすa,bは存在しません。