f(x,y)＝(2x＋3y-2)(x＋4y＋1)が

質問

f(x,y)＝(2x＋3y-2)(x＋4y＋1)が前提で、
f(x,y)＝56を満たす自然数x,yの組を求めるとき、

「56=7×8, 14×4, 28×2, 56×1
2x＋3y-2＝a,x＋4y＋1=bとすると、
2b-a=5y＋4
(a,b)=(7,8)のみ満たす。
よって(a,b)=(7,8)のときx＝3,y＝1」

という解答があったのですが、
何をしているのかまったくわかりません。
特に、=a, =bとした式を足した理由や、
「(a,b)＝(7,8)のみ満たす」というのがどこから
導き出されたものなのかよくわかりません。
わかる方、解説をお願いしたいです。
数字や記号の打ち間違えがあったらすみません。

回答No.2

noname#231195 · ベストアンサー

>=a, =bとした式を足した理由
それは式を足すこと自体に目的があるのではありません。yと(a、b)の関係を知るためにそうしました。
2x＋3y-2＝a・・・(1)
x＋4y＋1=b・・・(2)
このままですと、aとbとxとyの組み合わせを考えていかなければなりません。それで(2)×2－(1)　としてxを消去したのです。連立方程式を解くときにそうするでしょう？

あるいは(2)の式をちょっと変えれば、xは
x=b-4y-1・・・(3)
という式を満たすことがわかりますから、(3)のxの値を(1)に代入するんだと考えてもいいです。

>(a,b)＝(7,8)のみ満たす
2b-a=5y＋4
この式に、aとbの取り得る値を次々に当てはめてみて、yが自然数の解を持つかどうかを確かめていきます。
aとbの取り得る値とその値の時のyの満たすべき式は以下のようになります。
(a,b)　2b-a=5y＋4
(1,58)　115=5y＋4
(2,28)　54=5y＋4・・・！
(4,14)　24=5y＋4・・・！
(7,8)　9=5y＋4・・・！
(8,7)　6=5y＋4
(14,4)　-6=5y＋4
(28,2)　-24=5y＋4
(56,1)　-54=5y＋4
これを調べた後、(a,b)の候補として(2,28)、(4,14)、(7,8)の3つがあることがわかります。
その時のyはそれぞれ、10、4、1となります。

次にxについても同じ検討をしますが、上で絞り込んだ3っつの(a,b)の候補だけ考えればいいですね。
(2)の式から、xは次の式を満たすことがわかります。
x=b-4y-1
今度はbとyの取り得る値を次々に代入してxが自然数の解を持つかどうかを調べていきます。
(b, y)　x=b-4y-1
(28, 10)　x=28-40-1
(14,4)　x=14-16-1
(8, 1)　x=8-4-1・・・！
これでbが8である組み合わせであるときのみ、xとyが自然数の解を持つことがわかります。

「(a,b)=(7,8)のみ満たす。」の一言の後ろには、こんなに長い検討が隠されていたというわけ　(^_-)-☆

お礼

お礼が遅くなってしまい、すみませんでした。
とてもわかりやすかったです。ありがとうございました！

回答No.3

staratras

>特に、=a, =bとした式を足した理由や、「(a,b)＝(7,8)のみ満たす」というのがどこから導き出されたものなのかよくわかりません。

これは、解を絞り込もうという意図からの工夫でしょう。ただしご質問の問題は、x,yが自然数という条件のもとでの(2x＋3y-2)と(x＋4y＋1)のとる値を考えた方が効率的です。

y≧2　とするとx≧1より
2x＋3y-2≧6　x＋4y＋1≧10　となり(2x＋3y-2)(x＋4y＋1)=56　は成り立たない。

したがってy=1 である必要があり、このときf(x,y)=(2x+1)(x+5)=56
これを整理すると　2x^2+11x-51=0 (x-3)(2x+17)=0 自然数解はx=3のみ
x=3、y=1は(2x＋3y-2)(x＋4y＋1)=56　を満たす。答えはx=3,y=1

お礼

まさに目から鱗、といった感じです。こういうやり方もあるのですね！こういう考え方も、参考にさせていただきたいです。ありがとうございました！

回答No.1

sunflower-san

x, yが自然数(x, y ≥ 1)なので,
x＋4y＋1 ≥ 1+4+1 = 6
つまりx＋4y＋1 は6以上の自然数になります。
また、2x＋3y - 2 ≥ 2+3-2 = 3
より、2x＋3y - 2 は3以上の自然数になります。

次に、(2x＋3y-2)(x＋4y＋1) = 56
なので、(x＋4y＋1) は56の約数でもあります。
つまり, x＋4y＋1 = 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 のいずれかで、
それぞれの場合 2x＋3y - 2 = 56, 28, 14, 8, 7, 4, 2, 1となります。

x＋4y＋1 ≥ 6 かつ
2x＋3y - 2 ≥ 3
となるのは(x＋4y＋1, 2x＋3y - 2) = (7, 8), (8, 7), (14, 4)
の場合のみです。
これを連立させて各々の場合にx,yについて解き、
x, yがともに自然数になるものが問題の解です。

(1)
x＋4y＋1 = 7
2x＋3y-2 = 8
の場合、・・

(2)
x＋4y＋1 = 8
2x＋3y-2 = 7
の場合、・・

(3)
x＋4y＋1 = 14
2x＋3y-2 = 4
の場合、・・

と個別に全て解いても手間はしれてるのですが、
ご質問の解答では、少しだけ手間を省く工夫として

2(x＋4y＋1) - (2x＋3y-2 ) =5y + 4

が5で割って4余る9以上の自然数でないといけないことを利用して
解を絞り込もうとしているのではないかと思います。

先ほど絞り込んだ解の候補
(x＋4y＋1 , 2x＋3y-2 ) = (7, 8), (8, 7), (14, 4)
について
2(x＋4y＋1) - (2x＋3y-2 ) の値はそれぞれの場合
2×7 - 8 = 6
2×8 - 7 = 9
2×14 - 4 = 24
となって
(x＋4y＋1 , 2x＋3y-2 ) = (8, 7), (14, 4)の場合にさらに絞り込まれました。
(かなり微妙ですね。笑)

それぞれ y = 1, 4の場合
なのでxの値はそれぞれ、
x = (x＋4y＋1) - (4y + 1)を用いて
x = 8 - 5 = 3
x = 14 - 17 <0

こうして(x＋4y＋1 , 2x＋3y-2 ) = (8, 7)の場合のみ適することがわかりました。
また、その時の(x, y)の値は (3, 1) となります。

お礼

こういう風な考え方をすんなり出来るようになれればなぁと思います。参考にさせていただきます。ありがとうございました！