sup | f (x)-f (y) | について

質問

sup | f (x)-f (y) | についての質問です。

今、ある閉区間で f は定義されているものとし、この区間で有界とします。
A = sup {f (x)} 、B = inf {f(x)}　とおきます。

このとき、教科書によると　sup | f (x)-f (y) |　＝　A - B　になるそうです。
しかし、以下の理由から私は　sup （ f (x)-f (y) ）　= A - B になるように思います。

・A - B が（ f (x)-f (y) ） の上界になる事
任意に　f (x)　、f (y) 　をとります。
このときA、Bの定義から　f (x)　≤ A 、-f (y)　≤ -B　となります。
したがって　f (x)　-　f (y)　≤ A-B　となり、A - B は（ f (x)-f (y) ） の上界になります。

・A - B が（ f (x)-f (y) ） の最小上界である事
任意に正の数２εをとります。　（εだと以下やりにくいため２εとしました）
A - B -２ε　＜　 f (x)-f (y)　となる f (x)　、f (y)　を見つければOKです。

A - B -２ε＝ （A-ε） - （B+ε）　と変形すると、A、Bの定義から
A-ε　＜　f (x)　、　-(B+ε)　＜ -f (y)
となる f (x)　、f (y)　がとれます。
したがって両辺を足してA - B -２ε　＜　 f (x)-f (y)　となります。

この証明が正しければ sup （ f (x)-f (y) ）　= A - B　となりますが、すると
sup （ f (x)-f (y) ）　＝　sup | f (x)-f (y) |
となりますが、これは正しいのでしょうか？

今のところ反例が思いつかないので、正しいのか分からないのですが、
わざわざ絶対値をつけているため、この式は成り立たないように思うのですが…

私の考えで間違っているところがあれば教えて頂きたいです。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

x, y が任意の値をとれるなら
sup （ f (x)-f (y) ）　＝　sup | f (x)-f (y) |
です (f(x) < f(y) となるような x, y は sup に関係しない).

お礼

回答ありがとうございます。

教科書をもう一度よく読んでみたのですが、
どうやら上限をとる前の式に絶対値がついているため、そのまま絶対値をつけているだけのようです。

おかげ様で疑問が解決しました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

x や y の範囲はどうなってるの?

補足

x,yの範囲はある閉区間上です。
どこでも構わないのですが、とりあえず閉区間[0,1]の任意の点で考えるとどうなるでしょうか？