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作用素ノルム

作用素ノルムについての質問です。 V，W：ノルム空間　L：V→Wを線形写像とする。 定義 ∥L∥＝sup｛∥L(x)∥ | ∥x∥＝1｝ ＝sup｛∥L(x)∥ | ∥x∥≦1｝ 　 　　 　＝sup｛∥L(x)∥/∥x∥ | x≠0｝ とする。 このとき∥L∥＝inf｛c | ∥L(x)∥≦c∥x∥｝を証明したいのですが、 自分で考えた証明を以下書きます。 ∥L(x)∥≦c∥x∥　より両辺∥x∥で割り ∥L(x/∥x∥)∥≦c.　 (1)inf｛ｃ｝≦ sup｛L(x/∥x∥)｝＝∥L∥は自明。 (2)Ａ＝｛c | ∥L(x)∥≦c∥x∥｝とする。 Ａは∥L(x/∥x∥)∥の上界より，任意のc∈Ａに対して 　 sup｛L(x/∥x∥)｝≦c より ∥L∥≦c. 　 両辺下限を取ると 　 inf｛∥L∥｝≦inf｛c｝ ∥L∥の定義より∥L∥は任意のｘで成り立つのでｘによらない。 故に∥L∥≦inf｛c｝ よって∥L∥＝inf｛c | ∥L(x)∥≦c∥x∥｝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□ 以上，自分なりの証明なのですが，間違っている箇所や別の証明方法があれば教えてください。 見にくいと思いますがよろしくお願いします。

みんなの回答

回答No.2

(1) infＡ≦∥L∥を言うには∥L∥∈Ａを、 (2) infＡ≧∥L∥を言うにはc≧∥L∥(for ∀c∈Ａ)を示せば十分です。 どちらもＡの定義（c∈Ａ⇔∥L(x)∥/∥x∥≦c(for ∀x)）からすぐに分かるのですが、 確かにinf,supの定義に忠実にやると少し大変ですね・・・ おおむね良いと思うのですが、例えば > 両辺下限を取ると >　 inf｛∥L∥｝≦inf｛c｝ >∥L∥の定義より∥L∥は任意のｘで成り立つのでｘによらない。 などは、「∥L∥はＡの下界に含まれるので」と言い換えたほうがいいでしょう。 あと、Ｂ＝{∥L(x/∥x∥)∥｜x∈Ｖ}とおいて書き直せばもっと見通しよくなると思います。

  • tecchan22
  • ベストアンサー率53% (41/76)
回答No.1

(1)がおかしい。 (2)の証明はちょっとまだるっこしいが、ｏｋ。 (2)はほとんど自明なので、(1)をきちんと証明しやんといかん。 ただ、ちょっと気になる点が。 ＞このとき∥L∥＝inf｛c | ∥L(x)∥≦c∥x∥｝を証明したいのですが、 この｛c | ∥L(x)∥≦c∥x∥｝をもっと正確に書けますか？ 分かっているとは思うが、書き方が不正確だから、念のため。 ＞∥L(x)∥≦c∥x∥　より両辺∥x∥で割り ∥x∥で割るためには、ｘ≠０が必要です。 ＞∥L(x)∥≦c∥x∥　より両辺∥x∥で割り、∥L(x/∥x∥)∥≦c. これは、素直に∥L(x)∥/∥x∥≦cでいいのでは？Lは線形だから、正しいけれど。 (1)の証明は、まずこれらをハッキリさせてからね。

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