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行列のノルムはどのように定義されるのか?
- 行列のノルムには、ユークリッドノルムと∞ノルムがあります。
- ユークリッドノルムを用いた場合、行列Aのノルムは、BAの固有値の最大値です。
- ∞ノルムを用いた場合、行列Aのノルムは、行列Aの各行の絶対値の和の最大値です。
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Aは実行列ですね (1)∥・∥がユークリッド∥の時 A^T・Aのn個の固有値をμ[1],μ[2],・・・,μ[n]とし Λ=diag(μ[1],μ[2],・・・,μ[n])とし A^T・Aは実対称行列だから直交行列によって対角化されるのでA^T・Aを対角化する直交行列をRとすると(すなわちR^T・A^T・A・R=Λ) ∥A・x∥^2= (A・x)^T・(A・x)= x^T・(A^T・A)・x= x^T・(R・R^T)・(A^T・A)・(R・R^T)・x= (R^T・x)^T・R^T・(A^T・A)・R・(R^T・x)= (R^T・x)^T・Λ・(R^T・x)= Σ(1≦k≦n)・μ[k]・y[k]^2 なおR^T・x=[y[1] y[2] ・・・ y[n]]^Tとした また∥x∥^2=x^T・x=x^T・R・R^T・x=∥R^T・x∥^2 従って ∥A・x∥/∥x∥= ∥A・(R^T・x)∥/∥(R^T・x)∥= √(Σ(1≦k≦n)・μ[k]・y[k]^2)/√(Σ(1≦k≦n)・y[k]^2) =√(Σ(1≦k≦n)・μ[k]・e[k]^2) ただしe[k]=y[k]/√(Σ(1≦k≦n)・y[k]^2) μ[k]が最大の時e[k]を1とし他のe[・]を0とすれば上式が最大になるでしょう (2)無限大ノルムのとき xが1か-1のいずれかとしても同じだからそのようにして A・xを眺めてみてください 負のものが正になるようにxの成分を1にするか-1にするかをきめればいいのです (1)でつかれたので(2)は手抜き回答ですのであしからず
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- nubou
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無限大ノルムの場合は、以下であってますでしょうか?: あってますね う~む…。こんなの素じゃ絶対思いつかない…。: n=2,3のとき式を書き下してにらめっこすると結構思い浮かびますよ 一般の場合に抽象的すぎて混乱した場合にそうするといいと思います
お礼
ありがとうございました。 >n=2,3のとき式を書き下してにらめっこすると結構思い浮かびますよ >一般の場合に抽象的すぎて混乱した場合にそうするといいと思います 鉛筆で書き下して…、というのは、どうも面倒でサボっちゃうんですよねぇ…。 でも、アタマのメモリ容量が少ない僕としては(^^;、やっぱそれも必要ですね。 出来るだけやってみます。
- nubou
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2)無限大ノルムのとき xの成分の最大値を1にしても問題ないことは明らか(分数だから) そのときxの成分が1か-1のいずれかのときに∥A・x∥を最大にすることができることも明らか xの成分が1か-1のいずれかとしてA・xを眺めてみてください A・xのある成分において計算式の各項が正になるようにxの成分を1にするか-1にするかをきめればその成分は最大になるでしょう (1)でつかれたので(2)は手抜き回答ですのであしからず
お礼
ありがとうございました。 ユークリッドノルムの場合は解りました。 無限大ノルムの場合は、以下であってますでしょうか? ||Ax||_∞ = MAX_[i]{ |Σ_[j=1~n] a(i,j)・x_j| } = * ここで、MAX_[i]{ Σ_[j=1~n] |a(i,j)| } = Σ_[j=1~n] |a(k,j)| として、 x_j = |a(k,j)|/a(k,j) ( = 1 or -1 ) とすると、 * = Σ_[j=1~n] |a(k,j)| = MAX_[i]{ Σ_[j=1~n] |a(i,j)| } となって、証明終り。 う~む…。こんなの素じゃ絶対思いつかない…。数学者のアタマの中はどーなってんだろ。