ノルム空間

質問

<x> = x+M = {x+m| m∈M}
||<x>||_Q =inf[m∈M]||x+m||

Xをノルム空間、Mをその閉部分空間とするとき、
自然な写像　π；X　→　X/M　を　　π(x)=<x> で定義すると
πが連続になることを示す。　　

という問題で、連続を示すには
||xn-x||_Q → ０ ⇒　 ||π(xn)-π(x)||_Q → ０
を示せばいいのでしょうか？

回答No.2

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。

＞||π(xn)-π(x)||_Q　= ||<xn>-<x>||_Q = ||xn+m -x-m||_Q
＞= ||xn-x||_Q
＞||xn-x||→０　なので、||xn-x||_Q →０

違います。Ｘ/Ｍでの演算がわかっていないですね。

Ｘ/Ｍの2つの元　<x>＝ｘ＋Ｍ、<ｙ>＝ｙ＋Ｍ　に対して

<ｘ>＋<ｙ>＝(ｘ＋Ｍ）＋（ｙ＋Ｍ）＝ｘ＋ｙ＋Ｍ

です。このことをきちんと理解してください。

さて、このことをふまえて

||π(xn)-π(x)||_Q　= ||<xn>-<x>||_Q = ||xn－ｘ＋Ｍ||_Q = inf[m∈M]||xn－x+m||

となります。ですから

||π(xn)-π(x)||_Q ＝ inf[m∈M]||xn－x＋m|| ≦　||xn-x||→０

よりπが連続となる。

お礼

なるほど～。　よっく分かりました。
ありがとうございます。

回答No.1

uzumakipan

こんばんは。

＞という問題で、連続を示すには
＞||xn-x||_Q → ０ ⇒　 ||π(xn)-π(x)||_Q → ０
＞を示せばいいのでしょうか？

違います。

||xn-x|| → ０ ⇒　 ||π(xn)-π(x)||_Q → ０

が正しいですね。

お礼

↑えっと、更にもう一度考えてみました。（あまり変わってないかも？）

||π(xn)-π(x)||_Q　= ||<xn>-<x>||_Q = ||xn+m -x-m||_Q
= ||xn-x||_Q
||xn-x||→０　なので、||xn-x||_Q →０

てのでどうでしょう？

補足

あ、そうか、Xに定義されてる距離が　||x||　だからですよね。

うーん、で、
||πx(n) -π(xn)||_Q ≦　inf[m∈M]||xn+x+2m||

みたいになるのでしょうか。　またまた見当外れだったらすみません