商空間とハウスドルフ空間

質問

初めて投稿させていただきます。言葉足らずな点も多々あるかと思いますがよろしくお願いいたします。質問したいのは以下の問題です。
通常の位相を持った数直線Ｒから原点０を除いた位相空間をＸとする。Ｘ上の２点に対しして。関係～をｘ‘～ｘ⇔ｎ∈Ｚが存在してｘ‘＝２＾ｎｘ　(←２のｎ乗とｘの積です)として定義する。商集合Ｘ/～をＹとおく。次の各問に答えよ。
(１)π；Ｘ→Ｙを写像とするとき、Ｙ上の商位相の定義を述べ、πが連続であることを示せ。
(２)Ｙは第２可算公理を満たすことを示せ。
(３)商空間Ｙはハウスドルフ空間になることを示せ
まず(１)はできました。次に(２)なのですがこれはちょっとやり方がわからず困っています。可分な位相空間であることを示して第２可算公理を満たすという感じにすれば良いのでしょうか？できれば模範的な解答を示していただければ嬉しいです。それと最後に(３)なのですが、まったくわからず・・・という状態です。これも解答していただければ助かります。解答を他人任せにしていることに申し訳なさを感じているのですが、どうしてもこの問題だけは理解したいと思います。ですからどうかお願いいたします。

回答No.3

noname#152422 · ベストアンサー

1番です。

> すいません。まだわかりません。。解答を示していただくことはできないでしょうか？

ハウスドルフ空間が何か、商位相が何かがわかってないみたいにみえます。

1番で、

> (2^(n-1))y<x≦(2^n)y

という不等式を書きました。

Xで

（１）中心x半径aの開円盤
（２）中心(2^(n-1))y、半径bの開円盤
（３）中心(2^n)y、半径2bの開円盤

を作って、

B(x,a)、B((2^(n-1))y,b)、B((2^n)y,2b)のうちどの二つも共有点を持たないように正数aとbを取れるかどうか考えてください。

商位相を理解していればあとはわかるはず。

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

kabaokaba

この手の問題は
No.1さんのように定義に従って確実に示す方法を理解しないといけません．
たぶん，第二可算公理というものを理解してないのでしょう．
定義だけなら第二可算公理と可分は無関係です．

もう一つの方針は
問題の商空間Yがどのような空間なのかを考えることです．
Yと同相な空間で簡単なものがあればほとんど自明です．
そして，Yはある有名な集合と同相になるはずで
そうなると(2)(3)は自明です．

直線x+ky-k=0とy=-2^n+1（nは整数）の交点を考えるとYの点が定まるんです．
これがYとある集合との同相写像を構成するはずなので
(2)(3)はすぐでてくるはず

お礼

回答ありがとうございます。
確かに、定義を理解していないとできませんよね・・・もう少し自分で考えてみます。

補足

すいません。まだわかりません。。解答を示していただくことはできないでしょうか？

回答No.1

noname#152422

> π；Ｘ→Ｙを写像とするとき

これは「商写像」の書き間違いですよね？

（２）
Yの開集合をπで写して基底の和で表し、それをπによる逆像を考えます。

（３）
Yの異なる2点[x],[y]∈Yを任意に与えます。

xとyが異符号ならば自明なので、同符号のときだけ考えます。さらに、x,y>0としても一般性を失いません。

このとき、

(2^(n-1))y<x≦(2^n)y

となる整数nが存在することを利用します。

そのあとどういう近傍を取ればいいか考えてみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
＞これは「商写像」の書き間違いですよね？
すいません。。脱字があったようです。
ご指南ありがとうございます。ちょっと考えてみます。