ベクトルのノルムについて

質問

一般に、
x = {x0, x1, x2..}
のノルムは
|x| = √{x0^2 + x1^2 + ..}
と定義されると思いますが、現在、信号処理の本を読んでいて、そのなかでは
|x| = √{1/N{x0^2 + x1^2 + ..}}
と定義されています。
どちらがよく使われるのでしょうか？場合によって、定義が異なるのでしょうか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

ひとつの集合に異なるノルムを定義することは可能で、
その結果、同じ集合が異なる位相空間になります。
質問の事例は、対象とする集合が R^N ということでしょから、
異なるノルムと言っても、定数倍の違いでしかなく、
両者のノルムが定める位相は共通です。

(1/N) が掛かっているほうのノルムは、あまり見かけないもので、
恐らく、信号処理に独特のものと思われますが、
その分野では普通なのかもしれません。
(ユークリッドノルムの二乗/N) が式中に頻繁に現れるようなら、
そのように定義しておくと便利なのでしょう。
データの分散を求めるときに使う式ですよね。

回答No.2

178-tall

正規直交基底によるディジタル信号分解などでは、正規直交基底を「正規化」つまり基底のノルムを "1" にしますが、そのノルムが「次元 N 」の大小に左右されぬよう、たとえば
　∥x∥= √{(Σxi^2)/N}
とする場合が多いようですね。
　　　↓ 参考URL の pdf

参考URL：

http://www.cqpub.co.jp/hanbai/books/30/30871/30871_2syo.pdf