異なる物理量成分を持つベクトルのノルム・内積

質問

並行して質問を立てることご容赦下さい．．

タイトルの通りなのですが，
例えば(位置,速度)=(x, dx/dt）でプロットした位相空間中で，
その座標中の２点，A(x1,dx1/dt)，B(x2,dx2/dt)でノルムや内積を単純に，
||A-B|| = sqrt((x1-x2)^2 + (dx1/dt-dx2/dt)^2)
A・B = x1*x2 + (dx1/dt)*(dx2/dt)
としてしまうと，次元が異なる物理量の和となってしまいます．
そこで別のこれら定義を行うのでしょうが，困ってしまっております．
どのように定義するのかについて，宜しくご教授下さい．．．

実は連立方程式をいじっていて，あるベクトルを定義したのですが，
このベクトルがヒルベルト空間の元であって欲しいのですが，
成分毎の次元が異なっており，上記で悩んでしまっております．
私が初歩的なところを体得していないからだと思います，ご叱正覚悟しております．．

回答No.1

mmky · ベストアンサー

mmkyです。
参考まで
(位置,速度)=(x, dx/dt）でプロットした位相空間中ということですが、位置は物理量ではありません。ある点を示すというラベルのようなものです。だから取り扱うことは出来ると思います。つまり、(x, dx/dt）は、ラベルｘでの速度というような取り扱いです。

一方、位置から位置の差(x1-x2)を長さの物理量として取り扱うことが出来ますが、そうすると位置かける位置（x1*x2）の物理量が不明になります。
ということで、(x1-x2)も（x1*x2）もラベル（物理単位なし）で取り扱えば
いいのではないでしょうか。
役にたつかどうか。
参考まで

お礼

いつもお世話になっております．
ラベルですか．．．
でもそう言えば物理的意味とは無関係に数学としての成立性のみ考えることで，
数学的には問題はないようにも思えて来ます．
安定論でよく出て来る運動方程式の処理として，
d2x/dt2 = ax + b
で，x1=x，x2=dx/dt，とか置いて，
dx1/dt = x2
dx2/dt = ax1+b
で，X=(x1,x2)^tと置いて，
dX/dt = AX + B
として，x1とx2の次元が異なっても不問にしているようですし．．．そういうことなのかなぁ．．
ご回答頂きましてありがとうございました！＜（＿＿）＞

回答No.3

mmky

First_Noelさん「ラベル」のmmkyです。
方向は出されたようですので、自由な発想で参考になるかどうかわかりませんが、もう一つだけ追加しておきます。
点ｘをラベルと表現しましたが、少し意味があってそう表現しました。
座標上の点は、二つの意味が与えられます。一番目は「その名の通りの点」です。二番目は「無限に細い針のようなものが平面を突き刺しており、その
針と平面の交点座標を点として、その積分値がいつも[1]=[unit]になるような関数δが存在する。」とする考えです。二番目の考えが物理数学で超関数という概念に導入されています。
つまり点ｘはｘ[1]ということであるが、普通は点ｘで観測されるということです。だから、「物理単位」はｘには与えられないが、[1]には任意に与えることが出来るということが出来るという考え方です。ｘをラベルといった意味は、ラベルを例えば長さの単位単位ユニットと考えれば、ｘは物理単位なしですが、ｘ[1]はｘ｛m]の単位を付与することが出来るのです。この考えかたは無次元化するという考えとは似て非なる考えです。
例えばこの方法を使うと、点x1,x2は長さの単位に「(x1-x2)^2」「x1*x2 」は、両方とも面積の単位に変換できます。それで初めて数学的表記が物理的意味を持つのです。
例えば、
ｙ=1・sin｛Asinθ｝{距離の単位｝はAが十分一より小さいときは,（１．）を考えないとｙ=｛Asinθ｝で｛位相の単位｝になります。でも（１．）単位長
を忘れず考慮すると、長さの単位が正しいことが解ります。
このように点も一面しか見ないから点であって、本当の隠れたものは何かと
するのが「ラベル」の考え方です。
そういう概念を導入しないと、数学表示と物理の整合性は取れないのですが
一般には、不要なことなので、
方向にはあまり役に立たないかもしれませんが、
あえて参考までに書きました。

お礼

雑用多々で返事が遅くなってしまいました．スミマセン．．
ご意見をもとに進めていきたいと思います．
お教え頂きましてありがとうございました．＜（＿＿）＞

回答No.2

spinflip

半分、便乗質問かも知れませんが、正準変換でも同じ問題に
ぶつかりますよね。たとえばボゴリューボフ変換では、
X=x・cosθ－p・sinθ
P=x・sinθ＋p・cosθ
のように、xとpを平気で足してしまいます。(θは定数）
どう考えるのか、私も初歩的なところを体得していないので
自信が無いのですが、とりあえず、変数をスケールして無次元化
しておけば大丈夫と思うのですが、、、。
つまり、x_0や、p_0を距離と運動量の次元を持った定数として、
x/x_0、p/p_0 のような変数を新たに用いればよいのでは、、、。

お礼

やはり，えいや！とやってしまうものなのかなぁ．．
確かにｘ－ｐ平面上で軌跡書こうとするなら，物理的次元は不問にしないと
書けないですよね．

例えば４次元時空間中ですと，
（x, y, z, ct）
と，光速をかけて時間を位置として表現しますが，こういう手続きが必要なのかと
不安ありましたが，今のところは「気にしない」「無次元化する」の２本でやってみようと
思います．
ご回答頂きましてありがとうございました．＜（＿＿）＞