制御工学における∞ノルムとユークリッドノルムの違い

質問

現在制御工学について勉強している学生ですが、よく分からない事があるので質問をさせて頂きます。

「下図のような直結フィードバックシステムで、以下の３つの条件を満たすコントローラの比例ゲインKの最小値を求めよ」という問題について考えていまして、その３つの条件とは
(1)フィードバックシステムが内部安定であること
(2)入力が単位ステップで外乱がない(d=0)の時|e(∞)|<0.1 となる(e:偏差)
(3)入力r=0として、||d||2<1のような全てのd(t)に対して||y||∞<0.1となる
（※||d||2はdのユークリッドノルム、||y||∞はyの∞ノルムです）
で、ブロック線図と各要素の伝達関数は
　　　　　　　　　↓d
r---o--C(s)--o--P(s)----y
　　　|　　　　　　　　　　　　|
　　　--------F(s)-----
P(s)=1/(10s+1), C(s)=K, F(s)=1
です。

ここで質問です。
条件(3)で、出力yの∞ノルムは|y|の最大ゲインという事は理解しているのですが、外乱dのユークリッドノルムがこの場合何を意味しているのかが今一つ分かりません。
これも、外乱の最大ゲインの事なのでしょうか？もしそうだとすれば、何故出力の方は∞ノルムで表し、外乱はユークリッドノルムで表すのかが分かりません。
どなたか、教えて頂けませんでしょうか？

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

多分、前の方に定義が書いてあるはずだと思うのですが、
外乱dのユークリッドノルムは、dの平均パワー（２乗積分のルート）のことでしょうね。
普通は、xの nノルムは、||x||nは、
(∫|x|^n dt)^(1/n)
ていう定義になっているはずです。

出力yについては∞ノルムを使うのに、外乱については、なぜ∞ノルムではなくて、２乗ノルム（ユークリッドノルム）を使うのか、っていう理由ですが、（問題作成者がそうしようと決めたからって言えばそれまでなんですが）
察するに、外乱は、普通、正規分布に従うような雑音を考えますから、無限に長い時間観測すれば、瞬間的な最大値はいくらでも大きくなりえます。つまり、∞ノルムは∞です。これではまずいので、雑音の平均パワーを表わす、２乗ノルムを使ってます。
一方で、出力yは、一瞬でも0.1を超えてはまずい、という要求は、まあありえる話です。

お礼

回答ありがとうございます。よく理解できました。