制御工学

質問

伝達関数がG(s)=2/(s^3+2s^2+2s+1)のシステムに入力u(t)＝sintを加えたときに、定常状態での出力y(t)を計算せしなさい。

ここで、y(t)=|G(j)|*sin(t+∠G(j))となり
ゲイン|G(j)と位相∠G(j)を求めれば出力y(t)を求めることができれば解けるのですが
位相がよくわかりません。
答えには
　　　　∠G(j)＝∠2-∠(j-1)＝0-3/4π＝-3/4π
となっているのですが
自分がとくと
　　　　∠G(j)＝∠2-∠(j-1)＝0+tan^-1(1)＝π/4となります。
なぜ-3/4πとなるのでしょうか？？

また、1/s^2の位相の求め方もよくわかりません。（これはs=jω）
答えは-180度のようですが
自分で解くと、∠(1/(jω)^2)＝-tan^-1(0/-ω^2)＝0となります。
何がおかしいのでしょうか？？

回答No.5

oyaoya65 · ベストアンサー

#1,#3,#4です。
A#4の補足の解答
>制御系では、出力で位相が進むことはないのでしょうか？
制御系の伝達関数G(s)は通常分子の次数が分母の次数と同じか、それより低くなります。通常の伝達関数は位相ゼロから出発してωと共に、位相が遅れるということです。分母、分子の次数が同じ伝達関数G(s)の場合は、正負の位相取りえて、高々90°まで位相が進む可能性がありますが、ωが大きくなるにつれ位相角ゼロに漸近して行きます。

>伝達関数がG(s)である場合、
位相は90度になりますが、このような場合はどうなのでしょうか？
質問のG(s)の位相角は
-(Atan(w)+Atan(2*w+√3)+Atan(2*w-√3))*(180/Pi)[度]
となります。ω=0で位相角θ=0°、ωが増加していくとθがマイナスになり、ωが大きくなると-270°に漸近して行きます。
なので正の位相にはなりません。
質問者さんの言う位相は伝達関数の位相ではなく、360°加算した位相で
-270°+360°=90°から出てきた角度で本来の制御工学で言う位相ではありません。

直流を阻止するハイパスフィルターの場合は、ω=0で利得G(j0)=0となりますので位相がω=0でプラス(高々90°)位相から始まりωが大きくなると位相がゼロに漸近して行きます。
この場合、G(s)の分子と分母の次数は同じになります。
例G(s)=s/(s+2),G(iω)=jω/(1+jω)で
∠G(iω)=∠jω-∠(1+jω)＝90°-tan^(-1)ω
ω:0→∞に対してtan^(-1)ω：0→90°に変化します。
ハイパスフィルタのBode線図
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%83%87%E7%B7%9A%E5%9B%B3

ハイパスフィルタ以外の一般の回路では、
位相はω=0でのゼロ度から始まり、ωが大きくなるにつれ、G(s)の
｛(分母の次数)-(分子の次数)｝×90°の位相遅れ
に漸近していきます。

色々な回路について伝達関数G(s)を求めてみてください。そしてG(jω)の位相特性のグラフを計算して書いてみてください。
そうすれば、位相がどのような特徴を持つか理解できるでしょう。
以下Bode線図の位相特性の例を色々研究してみて下さい。
http://www.mit.eng.osaka-u.ac.jp/td2/uenishi/jyugyo/2005seigyo08.pdf
http://lab8.ec.u-tokai.ac.jp/bode_vector.pdf
http://ysserve.int-univ.com/Lecture/ControlMecha1/node21.html
http://www.ele.kanagawa-it.ac.jp/~tachibana/Control_Eng_PDF/Control_Eng_Chapter7.pdf
http://ayumi.cava.jp/audio/ac/node10.html#SECTION000101000000000000000
http://www.za.ztv.ne.jp/kygbncjy/tubeamp/6bq6/6BQ6BODE.htm
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%88%B6%E5%BE%A1%E8%AB%96
http://www.oishi.info.waseda.ac.jp/~oishi/signal/ex4.pdf
http://www.ube-k.ac.jp/~oki/class/AC/sec7_note.pdf

回答No.4

oyaoya65

#1,#3です。
>y(t)=-√2sin(t+(π/4))
>=√2sin(t-(3π/4))…(●)

>=√2sin(t-(π/4))
↑これは間違いですので削除。

>=√2sin(t+(5π/4))

>=√2sin(t+(7π/4))
↑これは間違いですので削除。

>なのですが、この解は=√2sin(t+(5π/4))であったり
>=√2sin(t+(7π/4))
↑これは式が間違っていましたので削除です。
>であったらだめなのでしょうか？？

解の式としては
y(t)=√2sin(t+(5π/4))
でも間違いではないと思います。

ただし、制御工学で伝達関数G(jω)のBode線図の位相特性を描くときには
位相は周波数（角周波数）に対して連続的に変化して行きますので、
位相が(5π/4)[rad]=225°進むということは制御系では現実に起こりえませんので、位相遅れとして-3π/4[rad]=-135°（マイナスなので135°の位相遅れ）とするのが自然なのです。
正弦波関数としては位相に±2nπを加えても波形としては同じになります。

お礼

返信ありがとうございます。

制御系では、出力で位相が進むことはないのでしょうか？
例えば、伝達関数がG(s)である場合、
位相は90度になりますが、このような場合はどうなのでしょうか？

頭が硬く、何度も質問して申し訳ないです（汗）

回答No.3

oyaoya65

#1です。
>引き続き　なぜ自分のような求め方で-135度が導けないのでしょうか？
#2さんも説明されていますが
tan(x)の逆関数のtan^-1(x)の定義範囲は主値の範囲で
-∞<x<∞に対して
-π/2(=-180°)<tan-1(x)<π/2(=180°)(◆)
の値しか取りえません。
しかし、伝達関数G(s)の分子・分母のsの次数差が2次以上になると
G(jω)の位相θは-π/2(=-180°)<θ<π/2(=180°)
の範囲におさまるとは限りません。
そのため、これをクリアするために制御光学では、位相を(◆)におさまるようにS(またはjω)の一次関数に分割して位相の和または差の合計を求めて全体の位相を求めます。
この計算法を無視すれば、(◆)を超える範囲の位相θの正しい計算が得られません。
複素平面または単位円で
(-1+j)/√2の点をプロットすれば、第2象限の点になりますから、位相が(◆)の範囲超えます。
(-1-j)/√2の点もプロットすれば、第3象限の点になりますから、位相が(◆)の範囲超えます。
このようにtan^(-1)(x)を(◆)の範囲を超える位相θに適用する場合は、
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
伝達関数を一次成分で分割し、それぞれの位相が(◆)におさまる範囲で正しく求め、その合計として伝達関数の位相を求めないといけません。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
なので
>G(s)=1/s^2=1/(s*s)の場合も
>∠1は0　　
>-∠(jω)^2＝-∠-ω^2であり虚数部がなく実数部のみなので
>tan^-1(0/ω^2)＝0とだしています。
こういう計算法すれば正しい位相の計算ができません。

A#1に書いたようにG(jω)の「jω」の一次の項ごとに分けて、それぞれの位相を求めて、合計する計算法を取らないといけません。
>G(s)=1/s^2=1/(s*s)
>G(j)=1/(j*j)
>∠G(j)=∠1-∠j-∠j=0-π/2-π/2=-π（=-180°）

制御工学の伝達関数は-180°～-360°にもなる場合があります。
単位円や複素平面で位相を求める方法は
0≦θ<2πまたは-π≦θ<π
といった範囲におさまる位相の範囲だけしか適用できません。
どんな伝達関数G(s)にも適用できる位相の計算方法は
上記の波線「～～～～～」で囲った方法で行わないといけません。

なお、実際に、問題のG(s)にu(t)=sin(t)を入力したときの出力の定常状態での出力y(t)を求めると
y(t)=-sin(t)-cos(t)
となります。このy(t)は以下のように色々変形できます。
y(t)=-√2sin(t+(π/4))
=√2sin(t-(3π/4))…(●)
=√2sin(t-(π/4))
=√2sin(t+(5π/4))
=√2sin(t+(7π/4))
しかし、制御工学の伝達関数の位相の計算から(●)が正しい位相を
与える式で、他のy(t)の表現は三角関数の性質から変形したものに
過ぎません。

またG(jω)の正確な位相θは次式のように計算します。
G(s)=2/[(s+1){s+1/2+j√3/2}{s+1/2-j√3/2}]
∠G(jω)=∠2-∠(1/2+j(ω+√3/2)-∠(1/2+j(ω-√3/2)
=-tan^(-1)(2ω+√3)-tan^(-1)(2ω-√3)

お礼

返信ありがとうございます。
とても、N02さんと同様、非常に丁寧でわかりやすいです。
感謝します。

＞このy(t)は以下のように色々変形できます。
y(t)=-√2sin(t+(π/4))
=√2sin(t-(3π/4))…(●)
=√2sin(t-(π/4))
=√2sin(t+(5π/4))
=√2sin(t+(7π/4))
しかし、制御工学の伝達関数の位相の計算から(●)が正しい位相を
与える式で、他のy(t)の表現は三角関数の性質から変形したものに
過ぎません。

なのですが、この解は=√2sin(t+(5π/4))であったり=√2sin(t+(7π/4))
であったらだめなのでしょうか？？

図で表すと結局同じような図になるとおもうのですが・・・。

回答No.2

foobar

＃１さん補足欄に関して
tan^(-1)は－πからπ（または０から２π）の間で二つの値をとります。（－π/2からπ/2の間に一つ、それ以外のところに一つ）
どちらを採用するかを考える必要があります。

（なお、通常は主値として－π/2からπ/2（または0からπ）の間の値を採用しています。この問題ではほしい角度は主値の範囲を超えているので、その点に留意しなければいけません。）

お礼

毎度返信ありがとうございます。
確かに主値の範囲をこえていますね・・
その点は注意して求めたいと思います。

回答No.1

oyaoya65

G(s)=2/(s^3+2s^2+2s+1)
G(j)=2/(-j-2+2j+1)=2/(j-1)
∠G(j)=∠2-∠(j-1)=0-3π/4=-3π/4
となりますよ。
単位円を描いて(j-1)の偏角がどこになるか確認してみてください。
そうすれば、間違いが分かるでしょう。

G(s)=1/s^2=1/(s*s)
G(j)=1/(j*j)
∠G(j)=∠1-∠j-∠j=0-π/2-π/2=-π（=-180°）

お礼

返信ありがとうございます。

＞単位円を描いて(j-1)の偏角がどこになるか確認してみてください。

すみません、、わからず確認することができませんでした。

自分の解き方が間違っているのしょうか？？
∠G(j)＝∠2-∠(j-1)＝　であれば
∠2は虚数部がないのでtan-1(0/2)=0
-∠(j-1)は虚数部が1jの1で実数部は-1。したがって-tan^-1(1/1)＝π/4とだしています。

G(s)=1/s^2=1/(s*s)の場合も
∠1は0　　
-∠(jω)^2＝-∠-ω^2であり虚数部がなく実数部のみなのでtan^-1(0/ω^2)＝0とだしています。

おそらくとき方が間違っていると思うのですが・・・。
どう導けばよいでしょうか？？
何度もすみません。

補足

お礼で
＞単位円を描いて(j-1)の偏角がどこになるか確認してみてください。
すみません、、わからず確認することができませんでした

と書きましたが、書くことにより-135度でした。
ありがとうございます。

引き続き　なぜ自分のような求め方で-135度が導けないのでしょうか？