位相角

質問

制御工学でボード線図を描くため、位相を求めます。そこで
伝達関数　G(s)=K/(s(1+Ts))　があったとします。

位相を求めたいのですが　教科書のやりかたでは

θ＝∠K－∠(jω)－∠(1＋jTω)＝0－π/2－tan^-1(Tω)　となっています。

そこで、G(jω)=K/(jω(1+jωT))を展開して求めれないのかと思い
　G(jω)=K/(-Tω^2+jω)として
θ＝∠K－∠(-Tω^2+jω)＝0－tan^-1(ω/-Tω^2)＝tan^-1(1/Tω)
となったのですが、前者の答えと一致しません。

後者のやりかたではだめなのでしょうか？？
よろしくお願いします。

回答No.3

foobar · ベストアンサー

＃２お礼欄に関して
tan-1(x)はふたつの値を持ちます。
Tw=1の場合
tan-1(1)= {45°or -135°}です。
-90°-tan(1)={-90-45 or -90-(-135) }= {-135 or 45}
となって、両者は一致します。
（どちらか一方だけを取り出して考えると、矛盾が起きますので、その点に留意する必要があります。）

回答No.2

foobar

#1お礼欄に関して
tan(θ+π/2)=-1/tan(θ)から両辺-1倍してtan^(-1)をとると
-π/2-θ=tan^(-1)(1/tanθ)

質問の最後の式と右辺とを見比べると
tanθ=Tω　よりθ=tan^-1(Tω）

これより、質問最後の式は
tan^-1(1/Tω）＝-π/2-tan^-1(Tω）
で教科書の式になります。

お礼

お返事ありがとうございます。

例えば Tω＝１だったとします。
そうなると
tan^-1(1/Tω）＝-π/2-tan^-1(Tω）　は
45＝-135となりますが
これは正しいでしょうか？？

少し疑問になりまして・・・。

回答No.1

foobar

後者の計算方法でももちろん計算できます。
ただし、その際に
-Tω^2+jω　の偏角がとる範囲に留意する必要があります。
(tan^-1は-πからπの間で二つの値をとります。どちらの値を採用するか（通常は -π/2からπ/2の間の値を採用することが多い）、留意する必要があります。)

もうひとつ、
tan(θ+π/2)=-1/tan(θ)　の関係があるので、この関係を使えば、前者と後者が一致することを示せるかと思います。

お礼

お返事ありがとうございます。

tan(θ+π/2)=-1/tan(θ)　の関係を使用すると一致するようですが
どう置き換えればよいのでしょうか？

初歩的すぎてすみません。