作用素ノルム(急募)

質問

[問]空間Ｘから空間Ｙへの線形作用素Ｔ∈Ｌ(Ｘ,Ｙ)の作用素ノルム ||Ｔ|| は u∈Ｘに対し、

　||Ｔ||＝sup[||u||≦1]||Ｔu||　　　　・・・(1)
　　　　＝sup[u≠0]||Ｔu|| / ||u||　　・・・(2)
　　　　＝sup[||u||=1]||Ｔu||　　　　 ・・・(3)

参考書などでいろいろ調べているのですが、
詳しい証明がなかなか見つかりません
(1)(2)(3)の等式が成り立つことの証明で悩んでいます

(1)については、
　α＝sup[||u||≦1]||Ｔu||　とおいて
　α≦sup[||u||≦1]1/||u||・||Ｔu||≦sup[||u||＝1]||Ｔu||≦α　・・(ア)
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
　||Ｔ||＝α　と証明すると思うのですが、
(ア)の不等式がいまいち理解できません。(なぜ最後にまた　≦α　となるのか？)

また、(1)→(2) , (2)→(3) の証明もうまくいきません。
見にくい表記になっていますが、また簡単な問題かもしれませんが、
よろしくお願いします。

回答No.2

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。

sup の定義に戻りましょう。

α＝sup[||u||≦1]||Ｔu||　とおく。

（イ）　α≦sup[||u||≦1]1/||u||・||Ｔu||　を示す。

任意のε>0に対して、適当な　u∈Ｘ（||u||≦1)が存在して

α－ε<||Tu||…（Ａ）（∵supの定義）

||u||≦１であるから

||Tu||≦1/||u||・||Ｔu||…（Ｂ）

ゆえに

1/||u||・||Ｔu||≦sup[u≠0]1/||u||・||Ｔu||　…（Ｃ）

（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）より

α－ε＜sup[u≠0]1/||u||・||Ｔu||

ここで、εは任意であるから

α≦sup[u≠0]1/||u||・||Ｔu||

（ロ）　sup[u≠0]1/||u||・||Ｔu||≦sup[||u||=1]||Ｔu||を示す。

β＝sup[u≠0]1/||u||・||Ｔu||とおく。

任意のε>0に対して、適当な　u∈Ｘ（u≠0)が存在して

β－ε<1/||u||・||Tu||

||u/||u||||=1であるから

1/||u||・||Tu||=||Tu/||u||||≦sup[||u||=1]||Ｔu||

よって、β－ε＜sup[||u||=1]||Ｔu||

イプシロンは任意であるから

β≦sup[||u||=1]||Ｔu||
つまり、
sup[u≠0]1/||u||・||Ｔu||≦sup[||u||=1]||Ｔu||

（ハ）　sup[||u||=1]||Ｔu||≦sup[||u||≦1]||Ｔu||は自明

（イ）、（ロ）、（ハ）より（１）＝（２）＝（３）が示せた。

今日はもう休みますので、質問は明日お答えします。

お礼

遅くなりましたが、ありがとうございました！！
大変助かりました。

回答No.3

kesexyoki

No.1です。αは∥Tu∥の∥u∥≦1における上限ですので、0≦∥u∥≦1の範囲の任意のuに対して∥Tu∥≦αとなるわけです。
そして、少なくとも一つのあるvに対し、∥Tv∥=αとなります。
そのようなvに対し(1)∥v∥=1か(2)∥v∥≠1の場合があります。（わかりやすいようvを用いました。）

よって”sup[∥u∥＝1]∥Ｔu∥”は∥u∥=1における∥Tu∥の上限ですので、（∥u∥=1なる任意のuに対する∥Tu∥の上限なので）
(1)のとき：sup[∥u∥=1]∥Tu∥=αになります。
(2)のとき：∥u∥≠1で∥Tu∥が上限を取るので∥u∥=1における∥Tu∥の値はα未満になります。
∴最後の部分は≦αになります。

お礼

遅くなりましたが、ありがとうございました！！
大変助かりました。

回答No.1

kesexyoki

（ア）に関してですが、αは∥u∥≦1においての上限なので、∥u∥=1においての上限にもなりますよね？

また、（ア）の式より（１）＝（２）＝（３）は成り立ってますよね？
『sup[||u||≦1]1/||u||・||Ｔu||』で、1/∥u∥と表記してる時点で、u≠0ですので。

お礼

申し訳ないんですが、(ア)に関して
なぜ最後にまた　≦α　となるのかを
説明してもらえませんか！？
全然分かってなくてスミマセン。
よろしくお願いします