f(x,y)=√(1-x^2-y^2)の全微分可能性について

質問

f(x,y)=√(1-x^2-y^2)の全微分可能性について
f(x,y)=√(1-x^2-y^2)の点(0,0)における全微分可能性について、全微分可能の定義に従って、調べております。
?f=f(x+?x,y+?y)-f(x,y)より
?f=√{1-(x+?x)^2-(y+?y)^2}-√(1-x^2-y^2)で、x=0,y=0を代入すると、
?f=√{1-(?x)^2-(?y)^2}-1 となりましたが、ここからの展開がわかりません。
アドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

△f=√{1-(△x)^2-(△y)^2}-1 　で、分子を有理化します
　=[{1-(△x)^2-(△y)^2}-1]/{√{1-(△x)^2-(△y)^2}+1}
　=-[(△x)^2+(△y)^2}]/{√{1-(△x)^2-(△y)^2}+1}

(△x,△y)→(0,0)で、
△f→0/2となる。即ち、0・△x+0・△y+o((△x,△y))
と表せるので、全微分可能。

お礼

aquatarku5様ありがとうございます。分子を有理化するのですね。大変参考になりました。