∂f/∂x=∂f/∂y ・・・・・・・(1) の解について
(1)を満たす解f(x,y)はz=x＋yとしてf(x,y)=C(z) (C(z)はzについて微分可能な任意関数)である。
しかしこの解がそれ以外で表されるか否かというのを考えてみました。
(考察)
f(x,y)が(1)の解であるならば、zを任意の定数として固定してy=-x＋zのとき
合成関数の微分法を用いて
df(x,-x＋z)/dx=0 である。
これをf(x,-x＋z)について解くと、f(x,-x＋z)=C(z) (C(z)はzのみに依存する任意関数)
すなわち df(x,-x＋z)/dx=0 ⇔ f(x,-x＋z)=C(z)
⇔ f(x,y)=C(x＋y) ・・・・・・・・・・・(2)
しかし(1)に代入するとC(x＋y)はx＋yについて微分可能でないといけないことが分かるので
結局(2)は
df(x,-x＋z)/dx=0 ⇔ f(x,y)=C(x＋y) (C(x＋y)はx＋yについて微分可能な任意関数) ・・・・・・(2)'
となる。
逆に(1)を満たす解の中でf(x,y)=C(x＋y)の形以外の適当なx,yに依存する関数F(x,y)を考える。
y=-x＋z(zは任意定数)と制限されれば x＋yのみに依存する任意関数C(x＋y)をとっても
F(x,y)≠C(x＋y)であるから (2)'からdF(x,-x＋z)/dx≠0
つまりy=-x＋zのとき
dF(x,-x＋z)/dx＝∂F/∂x＋dy/dx・∂F/∂y＝∂F/∂x -∂F/∂y≠0 で
このときF(x,y)は(1)を満たさない。
したがって(1)を満たす解はz=x＋yとして
f(x,y)=C(z) (C(z)はzについて任意の微分可能な関数)でしか表せない事が分かった。
この説明方法に誤り、アドバイスあれば指摘してください。
問題は(1)の解でy=-x＋zと制限すれば必ずdf(x,-x＋z)/dx=0なるという情報が分かっている。
F(x,y)をy=-x＋zで制限されたときF(x,-x＋z)/dx ≠0だから(1)はこのとき満たされないため
f(x,y)=C(x＋y)のみしか表せないと考えたのであるが、それでよいかどうか。
fが(1)の解 ⇒ y=-x＋zのとき df(x,-x＋z)/dx=0
これより y=-x＋zのときdF(x,-x＋z)/dx≠0 ⇒ Fは(1)の解でない
だから
(1)の解はf(x,y)=C(x＋y)のみというのが自分の考え。
お礼
ありがとうございます。 なるほど(x,y) から(z,w)の方でやった方が簡単ですね。 単なる変数変換で難しく考えたのかもしれません。