関数y=y(x)に関する微分方程式 y''=2yy'・・・（*）

質問

関数y=y(x)に関する微分方程式　y''=2yy'・・・（*）
について。
y=tan(z)と置くとき、z'をｙとｙ’を用いてあらわせ。
また、Z'=C(定数)とすると、yが(*)を満たすときのCの値を求めよ。

以上の問題についてなんですが、どういう風に解けばよいかすらわかりません。
単純にyを微分して代入するだけならできるんですが、z'をｙとｙ’を用いてあらわすのがわかりません。
どうかご指導よろしくお願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

y=tan(z)
y'=z'・1/cos^2(z)=z'(1+y^2)なので、
z'=y'/(1+y^2)

z'=C(定数)の場合、
dy/dx・1/(1+y^2)=C　即ち、
dy/(1+y^2)=Cdx
atan(y)=Cx+D　Dも定数
y=tan(Cx+D)　と表せる。このとき、
y'=C/cos^2(Cx+D)
y"=2C^2・sin(Cx+D)/cos^3(Cx+D)

(＊)にこれらを代入、
2C^2・sin(Cx+D)/cos^3(Cx+D)
=2Csin(Cx+D)/cos^3(Cx+D)

したがって、C=0または1

回答No.4

noname#113983

再び回答。
(1)間違えた。y'=(y^2)/2＋Aと表せて
z'=(y^2/2＋A)/(1＋y^2)=y'/(1＋y^2)

お礼

何回もすみません。
本当に助かりました。
皆さんが心強いです

回答No.3

noname#113983

(＊)を両辺xで積分すると、y'=y^2＋A(Aは定数)・・・・(1)
これをy=tan(z)と置くとき(1)に代入して
z'/{cos(z)}^2={tan(z)}^2＋A
よって
z'={sin(z)}^2＋A{cos(z)}^2になって
{cos(z)}^2=1/(1＋{tan(z)}^2)=1/(1＋y^2)に注意してやれば
z'=(1＋A)/(1＋y^2)・・・・(答え)
次にZ'=C(定数)とすると、上の(答え)から
y^2=(A-C＋1)/C
これをxで微分した時
2yy'=2y(y^2＋A)=0で
これを満たすCの値は-(A＋1)か-(A＋1)/(A-1)

回答No.2

aquatarku5

y=tan(z)
y'=z'・1/cos^2(z)=z'(1+y^2)なので、
z'=y'/(1+y^2)

z'=C(定数)の場合、
dy/dx・1/(1+y^2)=C　即ち、
dy/(1+y^2)=Cdx
atan(y)=Cx+D　Dも定数
y=tan(Cx+D)　と表せる。このとき、
y'=C/cos^2(Cx+D)
y"=2C^2・sin(Cx+D)/cos^3(Cx+D)

(＊)にこれらを代入、
2C^2・sin(Cx+D)/cos^3(Cx+D)
=2Csin(Cx+D)/cos^3(Cx+D)

したがって、C=0または1