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微分方程式の解き方　(置換の仕方)

以下の２問の微分方程式の解き方をどなたか教えてください。 (1) sin(x) * cos(y)^2 + y' * cos(x)^2 = C (x:変数, y:xの関数, y':yの導関数, C:定数) (2) y' = (a * x + b * y + c) ^(1/2) (x:変数, y:xの関数, y':yの導関数, a,b,c:定数) 2問ともに適当な変数に置換することは予想がつくのですが,どう置き換えればいいかわかりません。 それと(1)は非同次形の線形微分方程式なんでしょうか？ よろしくお願いします。

みんなの回答

  • Knotopolog
  • ベストアンサー率50% (564/1107)
回答No.2

(1)は，線形微分方程式ではありません．(1)は，１階非線形常微分方程式です． (1) の sin(x) * cos(y)^2 + y' * cos(x)^2 = C は，C ＝ 0 のときのみ変数分離形として，初等関数を用いて解けます．C ≠ 0 のときには，初等関数を用いて積分で一般解を表示することができません． (1)を解くための，置換の方法が今は私も分かりません． (2) の y' = (a * x + b * y + c) ^(1/2) は，a, b, c を実数と考えて解こうとすると，やはり，初等関数を用いたのでは解けません．「ランベルトのＷ関数」という特殊関数を用いないと解が表せません． また，置換方法も思い浮かばない為，仕方なく，数式処理ソフト（WolframAlpha）を使って解かせてみました． Wolfram|Alpha Computational Knowledge Engine http://www.wolframalpha.com/ 上記を起動して， dy/dx = (a x + b y + c)^(1/2) を入力して，〓を押すと，解が表示されます．試してみて下さい．因みに，「ランベルトのＷ関数」は下記のウィキペディアを御覧下さい． ランベルトのＷ関数（wikipedia） http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0 なお，余談ですが，ANo.1 さんの，解の表示は，(1)の一般解にはなっていません．勘違いされているようです．なぜならば，右辺の積分の中に y が含まれているためです．念のため・・・．

  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)
回答No.1

(1)のみ回答 tan(y) = －sec(x)＋C・∫{1/((cos(y))^2・(cos(x))^2)}dx＋C1　(C1；任意常数　)

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