多変数関数f(x,y)の多変数関数g(x,y)による微分∂f/∂gを計
多変数関数f(x,y)の多変数関数g(x,y)による微分∂f/∂gを計算するには？
xとyに関する多変数関数f(x,y)と、g(x,y)が与えられたとき、微分∂f/∂gを計算するにはどうしたらよいでしょうか？(そもそも偏微分なのだろうか？)
具体例で考えます。
f(x,y) = (x+2y)^2
g(x,y) = x+2y
である場合。当然∂f/∂g = 2 gです。このような場合は問題ありませんが、
f(x,y) = x + 3y
g(x,y) = x + 2y
のような場合はどのように考えたらよいのでしょうか？
全微分の関係を使って考えてみました。
df(x,y) = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy + O(dx,dy)
= dx + 3 dy + O(dx,dy)
dg(x,y) = (∂g/∂x) dx + (∂g/∂y) dy + O(dx,dy)
= dx + 2 dy + O(dx,dy)
∂f/∂g = limit_{dx→0,dy→0} df/dg を考えれば良いのではないかと。
どの方向から極限をとっても極限値が変わらないと仮定して、
つまりdx = dyとして、極限を考えると。
∂f/∂g = 4/3
とても正しいとは思えないのですが、他にどう考えればよいのかわからず悩んでいます。
そもそも、微分が存在しないと言うことなのでしょうか？
質問は以下の2点です。
（１）この様な場合、どのように考えていけばいいのでしょうか？
（２）この様な微分に関して、数学的に何か名前があるのでしょうか？分野名など。
以上
よろしくお願いします。
