関数F(ｘ、ｙ）＝０の導関数

質問

こんにちは。
高校数学３　導関数に関する質問です。
本の説明によると
「ax^n＋by^n＝ｃについて両辺をxで微分すると、ｙはｘの関数より、ｘ→ｙ→ｙ^nと考えて　　←質問(1)
nax^(n-1)＋bny^(n-1)・dy/dx＝０
これよりdy/dxを求めればよい。」
とのことですが、これはいったいどういうことなのでしょうか？

質問は(1)の部分ですが、全体的によく理解できないので、ヒントだけでもいただけるとありがたいです。

よろしくお願いします。

回答No.5

looker1986 · ベストアンサー

まず、疑問の中心は、何故、y^n の微分が、
ny^(n-1)・dy/dx であるかでよろしいですか？（先程の回答は(n-1)y^nと間違っていました。）

まず、具体的に ( 3x + 2 )^5 の微分を考えて見ましょう。
これは、3・5( 3x + 2 )^4 ですね。

ここで、y = 3x + 2 と置いてみてください。
( 3x + 2 )^5 = y^5 の微分は、
3・5( 3x + 2 )^4 = 3・5y^4 となります。

ここまでいいですか？

では、微分した式の 3 とは何でしょうか？
これはまさしく、　y = 3x + 2 を微分した。 dy/dx = 3 でしょう。（ dy/dx とは y を x で微分したものという意味です。教科書に書いてないですか？）

つまり、3・5( 3x + 2 )^4 = 3・5y^4 = 5y^4・dy/dx と書けるのです。

重要なのは、具体的に y の実体が分からなくても、 y^n の微分は ny^(n-1)・dy/dx と「書ける」ことです。

実際に x^2＋2y^2 = 4 で考えてみます。
x^2＋2y^2 = 4が
ｙ = √{（4-x^2）/2} と解けることは関係ありません。（実際には y =±√{（4-x^2）/2}）

x^2＋2y^2 = 4 の両辺を「形式的に」 x で微分してみてください。

2x + 4y・dy/dx = 0 となりますね。

ここで dy/dx を一つの文字と見て、解いてみましょう。他の文字は全て右辺に持って行きます。つまり、 dy/dx = ? の形にするのです。

dy/dx = -x/2y になりましたか？

お礼

回答ありがとうございます。

＞まず、疑問の中心は、何故、y^n の微分が、
ny^(n-1)・dy/dx であるかでよろしいですか？

　　↑はい、そのとおりです。

＞( 3x + 2 )^5 = y^5 の微分は、
3・5( 3x + 2 )^4 = 3・5y^4 となります。

ここまでいいですか？

　　↑はい、合成関数の微分という問題として理解できます。

＞重要なのは、具体的に y の実体が分からなくても、 y^n の微分は ny^(n-1)・dy/dx と「書ける」ことです。

　　↑なんとなくわかります。こういう形式の問題では、このように解答することにするということですね。

＞x^2＋2y^2 = 4 の両辺を「形式的に」 x で微分してみてください。

　　↑実体がわからないので「形式」として微分することだと思いますが、この「形式」がよく分からない気がします。あくまで形式として、（公式のごとく）処理するしかないのでしょうか？

＞2x + 4y・dy/dx = 0 となりますね。

　　↑「形式」に従えば、こうなることはわかりました。

＞dy/dx = -x/2y になりましたか？

　　↑「形式」として、わかりました。
やはり「形式」にこだわるしかないのでしょうか？

　回答ありがとうございます。感謝いたします。

補足

回答ありがとうございます。

高校数学IIの参考書をさがしていたら、dy/dxは導関数を表す記号で、これはｙ’やd/dx・ｆ（ｘ）と表せるという表示がありました。

「dy/dx」は（ｙ’の）記号として、形式的に考えることとしてみます。

回答者様には感謝いたします。

回答No.7

looker1986

非常におしいですね。
　(2)y =-√{（4-x^2）/2} の場合
　　　y’＝du/dx・dy/du＝－x・｛－1/2・u^（-1/2）｝
　　　　　　　　　 　　＝－x・{－1/2・1/u(1/2)}
　　　　　　　　 　　　＝x/2√(4-x^2/2）
　　　　　　　　　　　 ＝x/2y　　←ここが違います。
正しくは、
　　　「y = -√{(4-x^2)/2}」　なので、
　　　y’= x/2√(4-x^2/2）
　　　= -x/2y

となり、めでたく、y’= -x/2y となります。

どうでしょうか、計算の効率としては圧倒的に先程の方が良いですね。
あちらの方法は場合分けの必要が無く、
もし、x と y が混ざった式で無く、 x だけの式が欲しければ
y’= -x/2y に y =±√{（4-x^2）/2} を代入するだけでよいので、
簡単に微分結果が得られるというのがすごいところです。

お礼

回答ありがとうございます。
「めでたく、y’= -x/2y となりま」した。

Y'＝の結果の中にｙが入っていることに、なんとなく違和感を感じますが、「形式」としてこういうものだと思うしかないのですね。

微分することの意味合いを考えてみたら、この微分するということは、与えられた曲線上の接線の傾きを示すものだと思いますので…

本来の問題であった、「x^2＋y^2＝4」とは楕円の方程式であり、dy/dx（Y')を求めることは、楕円に接する接線の傾きを求めることだと思いますので、この微分の結果（y’= -x/2y ）は、楕円上の点（x1,y1）における傾きを示しているという意味なのでしょうね…

回答者様には感謝いたします。

回答No.6

looker1986

実は、この問題は y =±√{（4-x^2）/2} として、
y で場合分け（正か負か）して、微分しても解けます。
こちらの方法で解いてみてください。
そして、どちらの方が解きやすいか考えてみてください。
見た感じ違う式に見えるかもしれませんが、よく考えると同じ式になります。
なお、dy/dxを求めろというのはy’を求めろというのと全く同じです。
慣れないうちはそう読み替えてください。

お礼

回答ありがとうございます。

＞実は、この問題は y =±√{（4-x^2）/2} として、
y で場合分け（正か負か）して、微分しても解けます。

↑　U＝（4-x^2）/2とおくと、U’＝－x
　(1)y =√{（4-x^2）/2} の場合
　　　Y’＝du/dx・dy/du＝－x・｛1/2・u^（-1/2）｝
　　　　　　　　　　　 　＝－x・{1/2・1/u(1/2)}
　　　　　　　　　　 ＝－x/2√(2-x^2/2）
　(2)y =-√{（4-x^2）/2} の場合
　　　Y’＝du/dx・dy/du＝－x・｛－1/2・u^（-1/2）｝
　　　　　　　　　 　　　＝－x・{－1/2・1/u(1/2)}
　　　　　　　　 　　＝x/2√(2-x^2/2）

　よって、Y’＝±x/2√(2-x^2/2）　…かな？と思いますがどうでしょうか？…

補足

ANo.6「この回答へのお礼」の訂正

下の「この回答へのお礼」で計算間違いをしました。

U＝（4-x^2）/2とおくと、U’＝－x
　(1)y =√{（4-x^2）/2} の場合
　　　Y’＝du/dx・dy/du＝－x・｛1/2・u^（-1/2）｝
　　　　　　　　　　　 ＝－x・{1/2・1/u(1/2)}
　　　　　　　　　　 　＝－x/2√(4-x^2/2）
　　　　　　　　　　　＝－x/2y
　(2)y =-√{（4-x^2）/2} の場合
　　　Y’＝du/dx・dy/du＝－x・｛－1/2・u^（-1/2）｝
　　　　　　　　　 　　＝－x・{－1/2・1/u(1/2)}
　　　　　　　　 　　　＝x/2√(4-x^2/2）
　　　　　　　　　　　 ＝x/2y

よって、Y'＝±x/2y　…(1)

↑本来の問題　「x^2+2y^2＝4　の導関数dy/dxをｘとｙで表せ。」　の答えは
「dy/dx＝－x/2y」　なので、(1)の計算結果とは何か違うと思われます。

回答No.4

looker1986

合成関数の微分は理解されていますか？

sin2xの微分は2cos2xですよね。
これはあなたの参考書風に書くとx→2x→sin2xという場合です。

sinXの微分はcosXです。（注：Xによる微分。混同しないように文字を変えました。）
でも、sin2xの微分はcos2xではないですね。
中の微分、つまり2xの微分である、2を掛けて、
2cos2xがsin2xの微分です。

これが分かっていれば、あとは同じ話です。
問題はx→y→y^nの場合の、y^n の微分ですね。
これは、外の微分である (n-1)y^n に
中の微分である dy/dx を掛けただけです。

外の微分、中の微分というのは一般的な用語ではないと思いますので注意してください。

お礼

回答ありがとうございます。

再度、合成関数の部分を参考書にて確認しました。

以下に参考書の記載説明の流用と、問題への当てはめを行います。

合成関数なので、ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）があったとき、
ｘ→[f]→ｆ（ｘ）→[g]→ｇ（ｆ(x)）
が合成関数は「２種類の対応を続け行う」であり、これは
(1)まず、関数ｆによってｘをｆ（ｘ）に写す　
(2)関数ｇによってｆ（ｘ）をｇ（f(x)）に写す　　

sin2xの微分はｆ（ｘ）＝2x、ｇ（ｘ）＝sinＸの合成関数と考えられるのでＦ（ｘ）＝ｇ（ｆ(x)）とすると
｛ｇ（ｆ(x)）｝’＝ｇ’（ｆ(x)）・ｆ’（ｘ）

↑sin2xの微分については、2xというまとまりがあるので合成関数だとわかりました。

次にax^n＋by^n＝ｃをｘで微分することんぽ意味ですが、
（具体的には、X^2＋2y^2＝4という問題で、dy/dxをｘとｙで表せ。　という問題です。）

この問題の場合は、ｙ＝√{（4-x^2）/2}ということでｘとｙは関数であるということはわかるのですが・・・

「dy/dxをｘとｙ」　というように、変数や記号がでてきたので、わけがわからなくなっています。スッキリとした解説があればありがたいと思います。

回答者様のアドバイスには感謝します。

補足

この質問は、以下の問題の解説中に記載されていたものです。

「次の式で与えられるｘの関数ｙの導関数dy/dxをｘとｙで表せ。

x^2＋2y^2＝4　　」

　本来の問題が抜けていました。不十分な質問で申し訳ありませんでした。

回答No.3

kumipapa

皆さんの言われている事と全く同じなんですけど、yがxの関数ならば、y=f(x) とおいて、
ax^n + bf(x)^n = c
これをxについて微分すると、
nax^n + nbf(x)^(n-1) ｆ’(x) = 0
とするほうが、最初のうちは直感的に分かり良いかも知れませんね。

お礼

回答ありがとうございます

＞ax^n + bf(x)^n = c
これをxについて微分すると、
nax^n + nbf(x)^(n-1) ｆ’(x) = 0

↑bf(x)^n　をｘで微分する意味がいまひとつ理解できません。形としてこういう風に式変形すれば解答できるということはわかりますが・・・。

ｆ’(x)=-(nax^n )/{nbf(x)^(n-1)}という式変形で答えを出すという手順をふめば良いのだと思いますが・・・

これで解答がだせるとしても、このnax^n + nbf(x)^(n-1) ｆ’(x) = 0に関する計算の意味がわからないために、なんとなく、受験のための手段の勉強で終わってしまいそうな気がします。

変な質問ですいません。

回答No.2

kabaokaba

ｘ→ｙ→ｙ^n

ってのは，
xが与えられればyが決まり
yが与えられればy^nが決まる，
つまり，y^n は合成関数だから
y^nをxで微分したものが欲しいならば
y^nをyで微分したものにyをxで微分したものを掛け算しろ
といってる
y^nをyで微分したもの　=> ny^{n-1}
yをxで微分したもの => y'
だから
y^nをxで微分したもの => ny^{n-1} y'
そして，yをxで微分したものは dy/dx と書かれるわけだから

nax^(n-1)＋bny^(n-1)・dy/dx＝０

となる．

お礼

回答ありがとうございます。

参考にさせていただきます。感謝いたします。

回答No.1

koko_u_

>質問は(1)の部分ですが、全体的によく理解できないので、
>ヒントだけでもいただけるとありがたいです。

合成関数の微分を思い出せという程度の意味だと思われます。

その教科書の記述は全体的に非常に適当なのでスルーの方向で。

お礼

回答ありがとうございます。

ご指摘のとおり、合成関数の微分ということですが、説明の流れがよく理解できません。

「ｘ→ｙ→ｙ^nと考えて　」…？
「dy/dx」…？

です。なにかヒントにでもなるようなことがあればと思い、質問します。よろしくお願いします。