対数関数の

質問

対数関数の
(1)y=tanhxの逆関数の微分及び
(2)y=sinhaxの逆関数の微分を教えてください。

現在、微分を習っていますがy=sinhxの逆関数の微分やその他のやつは分かるのですが…どうしてもこの２つが何回計算してもとんちんかんな答えになります。

(自分が途中までやった解答)
(1)
x=tanhy
=e^y-e^-y/e^y+e^-y
ここでe^y=tとおくと
x=t-t^-1/t+t^-1
ここで両辺にtをかけて整理をすると
(x-1)t^2+(x+1)=0
t=-√x+1/x-1
y=log(-√x+1/x-1)
とここまでは出ました。

(2)
ax=sinhy
=e^y-e^-y/2
ここで両辺にe^yを加えて整理すると
(e^y)^2-2axe^y-1=0
ここでe^y=uとおくと
u^2-2axu-1=0
u>0より
u=ax+√(ax)^2+1
y=log(ax+√(ax)^2+1)
dy/dx=(1/ax+√(ax)^2+1)・(a +ax/√(ax)^2+1)
=(1/ax+√(ax)^2+1)・(a√(ax)^2+1)+ax/√(ax)^2+1)

どこら辺が間違っていたのかが知りたいです。と言うか…先生が解答を渡さないのと言っていたので答えさえ知りませんが。

回答No.2

noname#185706 · ベストアンサー

(1）
>t=-√x+1/x-1

は間違いで、
t = √{(1+x)/(1-x)}
これより
y = log[√{(1+x)/(1-x)}]
　= (1/2)log{(1+x)/(1-x)}
dy/dx = (1/2){(1-x)/(1+x)}(d/dx) {(1+x)/(1-x)}
　　　= (1/2){(1-x)/(1+x)}[{1(1-x)-(1+x)(-1)}/(1-x)^2]
　　　= (1/2){(1-x)/(1+x)}{2/(1-x)^2}
　　　= 1/{(1+x)(1-x)}
　　　= 1/(1-x^2)

(2)
>ax=sinhy

は間違いで、
x = sinh(ay)
よって
u = e^(ay)
計算をやり直すと
y = (1/a)log{x+√(x^2+1)}
dy/dx = (1/a)[1/{x+√(x^2+1)}](d/dx){x+√(x^2+1)}
　　　= (1/a)[1/{x+√(x^2+1)}][1+(1/2){1/√(x^2+1)}2x]
　　　= (1/a)[1/{x+√(x^2+1)}]{1+x/√(x^2+1)}
　　　= (1/a)[1/{x+√(x^2+1)}][{√(x^2+1)+x}/√(x^2+1)]
　　　= (1/a)/√(x^2+1)

いいところまでできていましたね。

お礼

ありがとうございます。助かりました！！

回答No.1

Tacosan

「対数関数」はあんまり関係ないような気もする.
で, 順序を逆にするけど, sinh^-1 x の微分ができるなら (2) はできるはずなのでは?
(1) は tanh x を微分できますか?