• ベストアンサー
  • 困ってます

この逆関数の求め方は間違っていますか?

「y=sinhx={e^x-e^(-x)}/2の逆関数を求めよ」 という問題が分かりません. 与式を変形して2y=e^x-e^(-x) e^2x-2ye^x-1=0 e^x>0を考慮して,解の公式よりe^x=y+√(1+y^2) 両辺の対数をとって(表現が間違っているかもしれません) x=log{y+√(1+y^2)} yを変数xについての関数とするために入れ替えて y=log|x+√(1+x^2)| (与式の値域より右辺の真数>0となるよう,絶対値記号を用いています.) とすれば解答と一致します. ですが,次の方法で解こうとすると答えが変わってしまいます. y=f(x)=sinhx={e^x-e^(-x)}/2 f'(x)={e^x+e^(-x)}/2>0より,f(x)は増加関数 逆関数をy=f^{-1}(x)とおきます. 逆関数の導関数[f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)}=2e^x/(e^2x+1)=2(e^x)'/(e^2x+1) この導関数を積分してf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)+C 関数y=f(x)は(0,0)を通るから,逆関数も(0,0)を通る.このことからC=-π/2を得る. よってf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)-π/2 ですが,これは先ほどの解答とは異なる気がします. 後半の解法はどこが間違えているのですか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数284
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
noname#133363

rnakamraさんの回答を少し言い換えると 問題の関数fの逆関数f^(-1)に関して成り立つのは (f^(-1)) '(x) = 1/f '(f^(-1)(x))   (1) という等式です。 (1)は、 f^(-1) (f(x))=x の両辺を微分して得られる等式を変形して、x=f^(-1)(y)を代入し、最後にyをxで置き換えれば得られます。 (1)の代わりに (f^(-1)) '(x) = 1/f '(x) としてるのが、質問文中の [f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)} ではないでしょうか。 これは必ずしも成り立ちません。 あと、細かい点ですが、すべての実数xで x+√(1+x^2)>0 ですから、絶対値記号はなくても構いません。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます. 僕の方法は必ず成り立つわけではないのですね.考え直します. 確かに絶対値記号でなくてもいいですね.解答を鵜呑みにしていました. これからもよろしくお願いします.

関連するQ&A

  • 逆関数の求められなくて困っています。

    関数f(x)=2x^3-3x^2-12x+1の定義域と値域を適切に選んで、逆関数をいくつか求めよ、という問題の解き方が分からなくて困っています。 逆関数の求め方も分からないのですが、定義域、値域を選んで、という意味も分からないです。。。 どうか、よろしくお願いします。

  • 関数

    関数 y=f(x)とx=f(y)は関数として、等しいというのは合っていますか? また、(1)f(x)=e^x/(e^x+1)のときy=f(x)の逆関数y=g(x)を求めよ。 (2)(1)のf(x)、g(x)に対し、 (A)∫(a~b)f(x)dx+∫(f(a)~f(b))g(x)dx=bf(b)-af(a)をしめせ。 (解答) f(x)の値域は、0<y<1{(e^x)+1}y=e^x (1-y)e^x=y⇔x=log(y/1-y) xとyを入れ替えて、g(x)=log(x/1-x) (2)I=∫(f(a)~f(b))g(x)dxとする。 f(x)はg(x)の逆関数だから、y=g(x)より、x=f(y) dx=f‘(y)dy また、g(f(a))=a,g(f(b))=bとあるのですが、 これらは、y=g(x)とx=f(y)を合成したものだ、としても、本質的には、問題ないですよね

  • 逆関数の微分 (数III)

    (x^3)'=3x^2 dy/dx=1 dx/dyを用いてy=x^3の逆関数y=f(x)の導関数を求めよ。 dx/dyを使わなくていいなら・・・ x=y^(1/3)として x'=1/3x^(2/3) という風にすぐもとまるのですが・・・。 模範解答は y=f(x)についてはx=y^3であり、・・・(1) y=x^(1/3) df(x)/dx =1/(dx/dy)・・・(2) =1/3y^2 = 1/3x^(2/3)・・・ (3) 疑問点があるところに○で番号を振りました。 (1)について、 逆関数とはy=~ という関数x=~という風に書き換えてからx,yを入れ替えるものですよね? (2)f(x)はy=x^3の逆関数なんですよね?  ってことはf(x)の逆関数は1/f(x)でありf(x)ってのはyの逆数であるから1/yがf(x)? なんか混乱してしまいました・・・(すみません汗 (3)y=x^(1/3) を代入したのでしょうか・・・?これってy=x^3の逆関数ですよね・・・? 模範解答の作業中にいつのまに逆関数y=x^(1/3)を求めたのでしょうか・・・? 回答よろしくおねがいします!

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

>逆関数をy=f^{-1}(x)とおきます. >逆関数の導関数[f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)} ここからして違う。 y=f^(-1)(x) から x=f(y) この式の両辺をxで微分すると 1=y'*f'(y)=y'*{e^y-e^(-y)}/2 y'=2/{e^y+e^(-y)} となります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ありがとうございます. 確かに逆関数の導関数は2/{e^y+e^(-y)}だと思います. しかし,解答でもxとyを入れ替えています.なので2/{e^x+e^(-x)}だと思ったのですが. これからもよろしくお願いします.

  • 回答No.1

>逆関数をy=f^{-1}(x)とおきます. 逆関数の導関数[f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)}=2e^x/(e^2x+1)=2(e^x)'/(e^2x+1) 逆関数と逆数の関数と混乱しています。 逆関数を求めようとしているのにその導関数が出ること自体が矛盾です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ありがとうございます. dy/dx=1/(dx/dy) ではないのですか? これからもよろしくお願いします.

関連するQ&A

  • 導関数

    導関数の勉強をしていますが、解け方が分からなくて、 分かりやすい説明を教えていただけると助かります。 よろしくお願いします。 導関数をまとめよ (1)f(x)=e^3x+e^-3x+e^x+e^√3x+e^2x+1 (2)f(x)=e^x2+1 (3)f(x)=(e^x+2)^3 (4)f(x)=x^2log(x+2)

  • 次の関数の導関数を求めよ。

    次の関数の導関数を求めよ。 f(x)=3x g(x)=log(2x2+x+1) h(x)=sin-12x 次の(1)と(2)を求めよ。 ∫x/(x^2-4)dx lim┬(x→0)??2x/(e^x-1)? 関数f(x)=1/(1-3x)に関する次の(1)と(2)に答えよ。 各自然数nに対して、関数f(x)の第n次関数f(n)(x)を求めよ。 関数f(x)のx=0におけるテイラー展開(よって、マクローリン展開)を求めよ。

  • 逆関数が分かりません;;

    黄チャートの例題12番です。 a,b,cを定数とする関数y=(bx+c)/(x+a)が逆関数をもつための条件と、その逆関数がもとの関数と一致するための条件を、それぞれ求めよ。 解答 y=(bx+c)/(x+a)=(c-ab)/(x+a)+b だからy=(bx+c)/(x+a)が逆関数をもつ条件は c-abノットイコール0 このとき、y=(bx+c)/(x+a)の値域は yノットイコールb である。 以下省略 なんでy=(bx+c)/(x+a)の値域は yノットイコールb なんですか?

  • 逆関数です^^;

    ≪問題≫y=(2x+3)/(x+a)とこの関数の逆関数が一致するとき,定数aの値を求めよ。 ≪自分なりの解答…≫ (解)y=(2x+3)/(x+a)の逆関数をまずとる。    =(-2a+3)/(x+a)+2 y-2=(-2a+3)/(x+a) x+a=(-2a+3)/(y-2) x=(-ay+3)/(y-2)これとy=(2x+3)/(x+a)を比較して,a=-2と求めたのですが,途中計算で注意(書き記さないといけないこと)しなければならないことがあったり,この解き方が間違っていたりしたら教えてください。 よろしくお願いします。

  • 逆関数

    答えが合っているか教えて下さい。 逆関数を求めよ。 y=-x^2+x(x≧0) 答えy=√(-x+2) y=log_1/2x 答えy=(1/2)^x

  • 逆関数の微分について教えてください

    ある関数の 逆関数の微分を求めよというのと      逆関数の導関数を求めよ というのはちがうのでしょうか? 微分と導関数を求めるというのは同じ意味 のように思うのですが? 違うならどう違うのでしょうか?

  • 関数の問題教えてください<(_ _)>

    次の問題教えてください。 (1)関数f(x)=log&#8322;(x+3)の逆関数f&#8315;&#185;(x)を求めよ。 (2)2つの関数f(x)=2x+3/x+1=x+2がある。この時g(f(x)),f(g(x))を求めよ。

  • 逆関数

    高専1年生です。 数学の問題で、逆関数のところです。問題集やってて3問だけわかりません。 本当に面倒かと思いますが回答のほうよろしくお願いします。 問題は「次の関数の逆関数を求め、定義域と値域を求めよ」 (1)y=-2x+1     (1≦x≦3)      2 (2)y=━ +3      (1≦x≦2)        x (x分の2プラス3)                    2   (3)y=(x-3)+1   (4≦x≦5) (x-3二乗プラス1) 詳しい解答をよろしくお願いします。 答えが付属していないので何の手がかりもありません>< では、よろしくお願いします。

  • 逆関数の微分について

    逆関数を微分するとは例えばy=x^2に逆関数の微分の公式をつかうと、y=√x (x≧0)の導関数が得られるってものですか?どなたか詳しく教えていただけないでしょうか?

  • 逆関数の合成関数について

    関数f(x)の逆関数をg(x)とすると、合成関数 f(g(x)) はxとなるのはわかるんですが、たとえば、 arctan(2tan(x)) というように逆関数を何倍かしたものを合成するとどのようになるのでしょうか。これ以上簡単にできないと思うのですが、この逆関数の合成関数の性質を使えばもっと簡単な式になる気もします。教えてください。