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dy/dx=-x/yの意味が解りません

dy/dx=-x/yの微分方程式を解く問題があるのですが どのようにしてとくのか意味が解りません 誰か教えていただけないでしょうか

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回答No.2

この微分方程式は、「変数分離型」の微分方程式の典型的な問題の一つです。 微分方程式についての教科書には必ず載っているはずです。書籍を参照もしてみてください。 たとえば、 dy/dx=f(x)/g(y) という微分方程式を g(y)dy = f(x)dx というように変形し、両辺で積分することで微分方程式を得ることができます。 ∫g(y)dy = ∫f(x)dx ↓ G(y) = F(x) + C Cは積分定数、G(y)=g'(y), F(x)=f'(x)です。 厳密な理論に基づいて考えると、突っ込みどころ満載なのですが、 ただ解くのが目的であればこれでよいと思います。 質問の場合は、上に於いて g(y) = y f(x) = -x としたときですので、 結局答えは、 (1/2)y^2 = -(1/2)x~2 + C     ↓ x^2 + y^2 = C になります。 境界条件が存在する場合は、それを答えの式に代入してCを求めてください。 初期値が与えられていれば、ラプラス変換という手法を用いて解くことも可能です。

elsa92
質問者

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ありがとうございます 回答を書いていただけたので照らし合わせて確認できました

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その他の回答 (2)

  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.3

dy/dx の形をしていない dx とか dy とかが何者だか ご存知ですか? 解って使うのなら、構わないのですが。 初等的には… dy/dx = -x/y は、(dy/dx)y + x = 0 かつ y ≠ 0 と同値。 この式を x で積分して、(1/2)y^2 + (1/2)x^2 = 定数 となる。 初期条件から、右辺の定数を求めれば終わり。 ∫y(dy/dx)dx = (1/2)y^2 + 積分定数 は、解りますね?

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  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.1

変数分離します。 形式的にdy/dxを分数と考えて ydy=-xdx つづいて両辺に積分記号を書き加えて積分すれば微分方程式が解けます。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%88%86%E9%9B%A2

elsa92
質問者

お礼

めちゃめちゃ早い回答ありがとうございます 助かりました

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