方程式の整数解を求める方法と別解について
- 方程式の整数解を求めるためには、判別式を用いてxの範囲を絞り込む方法があります。
- また、別解として、絶対値を用いてxとyの関係を考える方法もありますが、この場合は整数解が存在しないケースがあります。
- さらに、平方の和の形に変形する別解もありますが、これを除いても別の解法は存在するかもしれません。アドバイスをお待ちしています。
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方程式の整数解
5x^2+2xy+y^2-12x+4y+11=0 の整数解(x,y)を求めよ y^2+(2x-12)y+5x^2-12x+11=0 として、yの式とみて、 判別式をとって、xの範囲を絞り込むという流れとなると 思います。 これがベストな解法だと思いますが、別解として次のように 考えましたが、アドバイス等お願いします。 (1)｜x｜=｜ｙ｜のとき、x=±yを代入して yの方程式になり、これより整数解はなし。 (2)｜x｜＞｜y｜のとき、 -11=5x^2+2xy+y^2-12x+4y 絶対値をとって、11=｜5x^2+2xy+y^2-12x+4y｜＞｜5x^2+y^2｜-｜-2xy+12x+4y｜ ＞｜5x^2｜-｜y^2｜-2*｜x｜*｜y｜-12*｜x｜-4*｜y｜ ｜x｜＞｜y｜より =2｜x｜^2-16｜x｜ よって、 2｜x｜^2-16｜x｜-11<0 を解いて、｜x｜=0,±1,.......±8 (3)｜x｜＜｜y｜のとき、 (2)と同様に考えると、-6｜y｜^2-16｜y｜＜１１ ・・・・絞り込めず。 質問 ア．このような考えの流れで、解けるのか。 イ．もし、解けるとしたらどうまとめたらよいのか。 ウ．別解として平方の和の形に変形する方法もあると思うが それを除いて、別解はあるか。 よろしくお願いします。
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＞5x^2+2xy+y^2-12x+4y+11=0 が正しいとして、やってみよう。 xy＝整数 という形の拡張として考えてみる。 (xとyの1次式)*(xとyの一次式)＝整数 になればいいんだから、両辺に 定数kを加えてみる。 実は、ここのままやると、平方の和の形になってしまう。 y＾2＋2(x+2)y＋(5x＾2-12x＋11＋k)＝k ‥‥(1)とすると、左辺がyの完全平方式になると良いから、判別式＝0. -4x＾2+16x-7-k＝0 ‥‥(2)になるから、これも完全平方式になることより判別式＝0. よって、k＝9 この時、(1)は y＾2＋2(x+2)y＋(5x＾2-12x＋20)＝9 ‥‥(3) で左辺は1次式の積にはならない。 この時、(3)の左辺の判別式＝-4(x-2)＾2≦0 (← これが原因。)より x-2＝0. これを(3)に代入すると、(x、y)＝(2、-1)、(2、-7)。 ※ この方法は、方程式が楕円族のために余り有効ではなかったが、双曲線族の時は極めて有効に働く。
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- mister_moonlight
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＞(y+x+2)^2=-4x^2+16x-7=-4(x-2)^2+9 それなら、平方の和にした事と同じ。 (y+x+2)^2＋(2x-4)^2＝9 となるからね。 わかんなかったら、わかんなくて良い。
お礼
回答ありがとうございます お礼に入力して改めて考えたら、 平方の和と同じことに気づきました もうちょっと考えたいと思います
- mister_moonlight
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この程度は、自力で理解して欲しいんだが。 ＞1)kは整数なのか、平方数なのか 定数であれば良い。大抵は、整数になるが、平方数である必要はない。 ＞(2)左辺が完全平方式になることが、y＾2＋2(x+2)y＋5x＾2-12x＋11=0が整数解をもつための必要十分条件になるのか もちろん、必要にして十分条件だよ。
お礼
回答ありがとうございます 同じ考え方だと思うのですが、 次のように理解しました。 y^2+2(x+2)y+5x^2-12x+11=0 の左辺はこのままだと平方にらないので yの係数の半分(x+2)^2を両辺に加えると (y+x+2)^2=-4x^2+16x-7 =-4(x-2)^2+9 右辺が整数の平方になるから、9以下の数では9,4,1,0 でこれを満たす整数xは2しかない。
- mister_moonlight
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よく見たら、言葉足らずがあるので、修正しとく。 ＞y＾2＋2(x+2)y＋(5x＾2-12x＋11＋k)＝k ‥‥(1)とすると、左辺がyの完全平方式になると良いから、判別式＝0. -4x＾2+16x-7-k＝0 ‥‥(2)になるから、これも完全平方式になることより判別式＝0. よって、k＝9 (正)y＾2＋2(x+2)y＋(5x＾2-12x＋11＋k)＝k ‥‥(1)とすると、yの2次方程式の判別式：f(x)＝0がxの完全平方式になると良いから、判別式＝0. -4x＾2+16x-7-k＝0 ‥‥(2)になるから、これも完全平方式になることより判別式＝0. よって、k＝9 先にも書いたが、次の双曲線族の問題なら極めて有効。 x＾2＋5xy＋6y＾2-3x-7y＝0の整数解を求めよ。 xについて解くと、判別式＝m＾2、mは非負の整数 より m＾2-(y-1)＾2＝8 として、やるのが一般的だろうが、私が示した方法でやってみたら良い。 方法は、ひとつだけではない、事がわかるだろう。
お礼
回答ありがとうございます お手間をとらせて煩わせています y＾2＋2(x+2)y＋(5x＾2-12x＋11＋k)＝k に関していくつか質問がありますが、よろしければ教えてもらえればと思います (1)kは整数なのか、平方数なのか (2)左辺が完全平方式になることが、y＾2＋2(x+2)y＋5x＾2-12x＋11=0が整数解を もつための必要十分条件になるのか
- mister_moonlight
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平方の和、を使わない簡単な別解はある。 しかし、 ＞5x^2+2xy+y^2-12x+4y+11=0 ＞y^2+(2x-12)y+5x^2-12x+11=0 どっちが正しいんだ？ どっちも違ってたりして。。。。。ｗ
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