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整数解の個数
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こんにちわ。 考え方の一つとして「格子点」で考えるというのもありますね。 (x/2)+(y/3)+(z/6)＝ 10という平面を考えると、 x軸上の点(20, 0, 0)、y軸上の点(0, 30, 0)、z軸上の点(0, 0, 60)を通る平面となります。 この平面と xy平面、yz平面、zx平面で囲まれた立体に含まれている（面上の点も含めて） 格子点の数を数えることになります。 たとえば、x＝ 0とすると不等式は y/3+ z/6≦ 10となります。 yz平面で y≧ 0、z≧ 0、z≦ 2y+ 60を満たす格子点の数を求めます。 以下、順番にやっていくわけですが おそらく x＝ 2m(偶数)のときと x＝ 2m-1(奇数)のときで場合分けできるのではないかと。 それぞれの場合について求めて、最後に mについて和（Σ）をとれば全部の格子点の数が求められると思います。
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- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
格子点に関しては、ピックの定理というものがある。 http://kurihara.sansu.org/theory/pic.html それを使えば解けるんだが、これは高校数学の範囲外だしなぁ。。。。 もつとも、これを直接使うわけではないが、この定理が下敷きになってる入試問題は珍しくない。
お礼
回答ありがとうございます 格子点の数で面積をもとめられるのは、意外です。 面積から、格子点の数を求めるという方向ですか
- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
別のアプローチですが、 x/2+y/3+z/6≦10 から z≦60-3x-2y x,yが決まれば、zの個数は(61-3x-2y)個になるので、 求める個数は、 Σ[x=0...20]{Σ[y=0...(60-3x)/2](61-3x-2y)} となります。 xが奇数なら(60-3x)/2も奇数なので、xを偶数のときの奇数のときに分けて、 =Σ[x=0...10]{Σ[y=0...(60-3*2x)/2](61-3*2x-2y)} +Σ[x=1...10]{Σ[y=0...(60-3(2x-1))/2](61-3(2x-1)-2y)} あとはこれをゴリゴリで計算するだけ。
お礼
回答ありがとうございます z≦60-3x-2y と変形して、あとは、ｘの奇偶を考えていく のは見晴らしがよいと思いました あとは、Σの計算だけど慣れていないとうまく処理できないのではと 思いました
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
整数問題は、時として“数え上げる”事が必要になるにしても、simpleな解法が思いつかない。 10 という数字が邪魔になる。 分母を払うと、3x+2y+z＝2(x+y)＋(x+z)≦60 より x+z＝b、x+y＝a、とすると b+2a≦60 0≦a≦30、0≦b≦60 である。 a＝30の時、b＝0 から 1通り。 a＝29の時、b≦2 から (3＋2＋1)＝6 通り。 a＝28の時、b≦4 から (5＋4＋3＋2＋1)＝15 通り。 a＝27の時、b≦6 から (7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)＝28 通り。 最後まで計算してないが、推測すると個数は規則性のある数列(ひょっとして、階差数列？)になるんだろうか？ 数え上げる事は到底無理。だから、整数解の個数？
お礼
回答ありがとうございます b+2a≦60 ２変数に持ち込むというのは参考になります あとは、数え上げるしかないのか
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
そんな解法でいいんです。 ただ、 値の個数が少ない z から考えていくほうが 少し楽です。
お礼
回答ありがとうございます 0=<z=<60で、個数が多いように思いました
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お礼
回答ありがとうございます x＝ 2m(偶数)のときと x＝ 2m-1(奇数)のときで場合分け で考えたいと思います。