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整数の問題がわかりません

a^2+b^2=c^2をみたす自然数(正の整数)a,b,cがある。ただし、a,bは互いに素でbは偶数であるとする。c+a=2p、c-a=2qとなる自然数p,qが存在し、pとqは互いに素であることを示せ。ここで、2つの自然数が互いに素であるとは、その2数の正の公約数が1のみであることである。 です。 条件からbが偶数ならa=奇数、c=奇数。という事ぐらいしか分かりませんでした・・・ 解答してもらえるとありがたいです

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.4
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

#3です。説明不足でした。もともと b^2=(c+a)(c-a)    =4pq ですから、pqは平方数でなくてはなりません。従ってp=α*s、q=α*tとおいた場合 b^2=4α^2*st のstも平方数でなくてはなりません。

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質問者からのお礼

ありがとうございます!非常に分かりやすかったです。

その他の回答 (3)

  • 回答No.3
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

b^2=c^2-a^2    =(c+a)(c-a) ここでaおよびcは奇数であることが判っているのでそれぞれ2m+1、2n+1(n>m>=0) とおくと c+a=2(m+n+1) c-a=2(n-m) となり、p=m+n+1、q=n-mとなるような自然数p,qが存在することが判ります。  ここでpとqが互いに素でないとするとp=α*s、q=α*tと表されます(αは2以上の自然数、s、tは自然数)。 c+a=2p=2αs ・・・(1) c-a=2q=2αt ・・・(2) なので(1)から(2)を引くと 2a=2α(s-t) a=α(s-t) 一方b^2=(c+a)(c-a)      =4α^2*st b=2α√(st) となるのでaとbにαという共通因数があることになり題意に矛盾します。よってpとqは互いに素であることが判ります。

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質問者からの補足

bは正の自然数とあるのにb=2α√(st)となっても大丈夫なんでしょうか?

  • 回答No.2
  • zux
  • ベストアンサー率33% (25/74)

ユークリッドの互除法とか予備知識がいるんでわなかろうか 調べてよん

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  • 回答No.1

「a=奇数、c=奇数」が分かってるようなので「c+a=2p、c-a=2qとなる自然数p,qが存在し」の部分はいいですよね。後はp,qが互いに素であることを示せればいいですがそれはほとんど自明です。 というのも「a,bは互いに素」という条件と「b^2=c^2-a^2」からa,cは互いに素でなければならずもしp,qが互いに素でなければc=p+qとa=p-qは互いに素になりません。

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