整数の問題がわかりません

質問

a^2+b^2=c^2をみたす自然数(正の整数)a,b,cがある。ただし、a,bは互いに素でbは偶数であるとする。c+a=2p、c-a=2qとなる自然数p,qが存在し、pとqは互いに素であることを示せ。ここで、2つの自然数が互いに素であるとは、その2数の正の公約数が1のみであることである。　です。

条件からbが偶数ならa=奇数、c=奇数。という事ぐらいしか分かりませんでした・・・
解答してもらえるとありがたいです

回答No.4

gohtraw · ベストアンサー

＃３です。説明不足でした。もともと
ｂ＾２＝（ｃ＋ａ）（ｃ－ａ）
　　　＝４ｐｑ
ですから、ｐｑは平方数でなくてはなりません。従ってｐ＝α＊ｓ、ｑ＝α＊ｔとおいた場合
ｂ＾２＝４α＾２＊ｓｔ
のｓｔも平方数でなくてはなりません。

お礼

ありがとうございます！非常に分かりやすかったです。

回答No.3

gohtraw

ｂ＾２＝ｃ＾２－ａ＾２
　　　＝（ｃ＋ａ）（ｃ－ａ）
ここでａおよびｃは奇数であることが判っているのでそれぞれ２ｍ＋１、２ｎ＋１（ｎ＞ｍ＞＝０）
とおくと
ｃ＋ａ＝２（ｍ＋ｎ＋１）
ｃ－ａ＝２（ｎ－ｍ）
となり、ｐ＝ｍ＋ｎ＋１、ｑ＝ｎ－ｍとなるような自然数ｐ，ｑが存在することが判ります。

　ここでｐとｑが互いに素でないとするとｐ＝α＊ｓ、ｑ＝α＊ｔと表されます（αは２以上の自然数、ｓ、ｔは自然数）。
ｃ＋ａ＝２ｐ＝２αｓ　・・・（１）
ｃ－ａ＝２ｑ＝２αｔ　・・・（２）
なので（１）から（２）を引くと
２ａ＝２α（ｓ－ｔ）
ａ＝α（ｓ－ｔ）
一方ｂ＾２＝（ｃ＋ａ）（ｃ－ａ）
　　　　　＝４α＾２＊ｓｔ
ｂ＝２α√（ｓｔ）
となるのでａとｂにαという共通因数があることになり題意に矛盾します。よってｐとｑは互いに素であることが判ります。

補足

bは正の自然数とあるのにb=2α√(st)となっても大丈夫なんでしょうか？

回答No.2

zux

ユークリッドの互除法とか予備知識がいるんでわなかろうか

調べてよん

回答No.1

ringohatimitu

「a=奇数、c=奇数」が分かってるようなので「c+a=2p、c-a=2qとなる自然数p,qが存在し」の部分はいいですよね。後はp,qが互いに素であることを示せればいいですがそれはほとんど自明です。
というのも「a,bは互いに素」という条件と「b^2=c^2-a^2」からa,cは互いに素でなければならずもしp,qが互いに素でなければc=p+qとa=p-qは互いに素になりません。