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数学B 整数
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(1) c+3d=4a+7b+3(3a+4b)=13a+19b =5(3a+4b)-(2a+b) が5の倍数なので、(2a+b)も5で割り切れる。 (2) c=pm d=pn とする。 c=4a+7b=pm d=3a+4b=pn 2式を足すと p(m+n)=7a+11b=5(a+2b)+2a+b 右辺の、5(a+2b)+2a+b は、pで割り切れる。 a+2bと2a+bがpで割り切れるとすると、k,tを自然数として、 a+2b=pk 2a+b=pt と書ける。 この2式を足すと、 3a+3b=p(k+t) a+b=p(k+t)/3 となり、pが3の時だけ、もしくは、k+tが3の倍数の時だけ成り立つ。 しかし、題意は素数は3の一つに決めていないし、k+tも3の倍数と制限しているわけでもない。 したがって、5(a+2b)+2a+b は、5で割り切れることが要求される。 よって、p=5 この時、2a+bも5の倍数になっている。
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