高校数学の問題です。

質問

1からnまでの自然数のうちで、nと互いに素であるものの個数をZ（n）とする。
ただし、自然数aとbが互いに素であるとは、aとbの最大公約数が、1になることである。

(1) Pを素数、kを自然数とするとき、Z（P^k）を求めよ。

(2)z（100）を求めよ。

どちらかだけでも良いです。困っています。
宜しくお願い致します。

回答No.3

hiro1122 · ベストアンサー

(1)こういう問題は具体的な数字で考えると簡単です。例えば、Ｐ＝７、ｋ＝２で考えてみてはどうでしょう。
つまり、Ｚ（７＾２）＝Ｚ（４９）を考えます。４９の素因数は７しかないので、４９以下で、７の倍数を数えると７つしかありません。よって、Ｚ（４９）＝４９－７＝４２と計算できます。
これを一般化すれば、Ｚ（Ｐ＾ｋ）＝Ｐ＾ｋーＰ
と表せます。

(2) 100=2^2×5^2　なので、Ｚ（１００）＝（２の倍数でもなく５の倍数でもない１００以下の自然数）ということになります。
100以下の自然数のうち、２の倍数は５０個、５の倍数は２０個、２の倍数かつ５の倍数つまり１０の倍数は１０個だから、（２の倍数または５の倍数）＝50＋20-10＝60個となります。
よってＺ（１００）＝100-60＝40
と求められます。

回答No.4

naniwacchi

#2です。

#3さんが示されているように、特に整数問題は「具体例」を考えることで
その規則性が見えてくることが多いです。

ただし・・・#3さんの例では、「もの足りない」ところがあります。
たとえば、Z(7^3)を考えてみてください。
単に「pを引く」だけでは答えになりません。

まずは「素でないもの」の個数を数えると言うことで、
以下の質問を参考にしてください。
http://okwave.jp/qa/q7371891.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q7371891.html

回答No.2

naniwacchi

まずは、「素でないもの」を数えることを考えてみては？

回答No.1

Tacosan

(2) 数えろ.