aとbが互いに素なとき、a^2とb^2が互いに素であることの証明
- aとbが互いに素な場合、a^2とb^2も互いに素であることを証明します。
- aとbが互いに素であると仮定すると、a^2とb^2の最大公約数をGとおくと、Gは1であることが求められます。
- したがって、aとbが互いに素な場合、a^2とb^2が互いに素であることを言えます。
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解説でわからないところがあります
aとbが互いに素であるとき、 a^2とb^2が互いに素であることを証明せよ なんですが a^2とb^2の最大公約数をＧとおくと、 a^2=αＧ…(1) b^2=βＧ…(2) (αとβは互いに素)とおける。 Ｇの任意の素因数の１つをkとすると。(1)式よりa^2はkで割り切れる。kは素数より、aもkで割り切れる。同様に(2)式からbもkで割り切れる。条件よりaとbは互いに素であるから、k=1である。kはＧの任意の素因数であるから、Ｇ＝１となる。よって、a^2とb^2は互いに素である。 kはＧの任意の素因数であるから、Ｇ＝１となる。 というのがわかりません また a^2とb^2の最大公約数をＧとおくと、 a^2=αＧ…(1) b^2=βＧ…(2) (αとβは互いに素)とおける。 Ｇの任意の素因数の１つをkとすると。(1)式よりa^2はkで割り切れる。kは素数より、aもkで割り切れる。同様に(2)式からbもkで割り切れる。条件よりaとbは互いに素であるから矛盾する よって aとbが互いに素であるとき、 a^2とb^2が互いに素であることが成り立つ という証明ではだめでしょうか だめならどうしてか教えてほしいです
- kirofi
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そうですね 言われてみると確かに1は素因数（素数）ではないので 解説は正確ではなさそうですね 解説の解答ならkをGの任意の素因数もしくは1とする と書けば正確だと思います 後半の解答ならGは１でないと仮定する するとGは素因数kをもつ… a,bともにkで割り切れるから矛盾 これで正確だとは思いますがk=1ではないとは はっきり書いておいたほうが親切で よいのではないかと思います 後半の解答の方がスマートでいいと思います
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- dame_dame_
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あまりオシャレな解き方じゃないような… 文章がしつこいし あってはいると思いますが 前半はGの素因数が1以外ありえないからG=1ということです ただし http://okwave.jp/qa/q6790309.html の＃４の方が言われてるように素因数分解の一意性が成り立たない場合は 成り立ちません、この場合は ＞kは素数より、aもkで割り切れる が言えません （おそらく今の場合は整数を意図してるのだと思うので問題ないです） 後半はもう少し丁寧に Gは1ではない、kを1でないGの素因数とする と書けば同じことなので問題ないと思います
お礼
回答ありがとうございます ＞Gは1ではない、kを1でないGの素因数とする とありますが素因数自体１を含んではないのでしょうか
補足
含んではないのではないでしょうか でした
- askaaska
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後半 きちんと仮定を明記して それが矛盾であることを記述すれば よさげな気がするわね。 この証明文だと何に矛盾しているのかが書いていないので 花丸はもらえないわね
- askaaska
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まず前半 >kはＧの任意の素因数であるから、Ｇ＝１となる。 >というのがわかりません まず、 kがGの素因数ということはG=nkとなるGの素因数nが存在しているってこと ここまではいいかしら？ Ｇの任意の素因数の１つをkとすると。(1)式よりa^2はkで割り切れる。kは素数より、aもkで割り切れる。同様に(2)式からbもkで割り切れる。条件よりaとbは互いに素であるから、k=1である。 k=1であることが分かりました。 同様に Ｇの任意の素因数の１つをnとすると。(1)式よりa^2はnで割り切れる。nは素数より、aもnで割り切れる。同様に(2)式からbもnで割り切れる。条件よりaとbは互いに素であるから、n=1である。 ここまでOK？ G=nk だったわよね？ よって G=1
お礼
回答ありがとうございます よくわかりました ですがもう１つ疑問に思ったんですが ｋ＝１にどうしてできるんでしょうか 素因数は、自然数の内、ある自然数の約数になる素数であるのに１は素数ではないので１に出来ない気がするのですが
- Tacosan
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ぱっと見た感じ, どっちも危険な気がする. 後者は最後の「条件よりaとbは互いに素であるから矛盾する」がちょっと雑な感じ. 「何に矛盾するのか」「その矛盾の結果何が言えるのか」をもう少し丁寧に書いた方がいいと思う. 前者は.... 「k=1である」って, 大丈夫か?
お礼
回答ありがとうございます
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