回転移動と整数問題についての要約

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このQ&Aのポイント
  • 回転移動と整数問題について調査しました。1次変換による回転移動を行う行列AとBを用いて、点Pが点Qに移動する条件を求めました。
  • 回転移動とは、原点を中心に角度を変えながら点を移動させる操作です。行列AとBを使って回転移動を行うと、点Pが点Qに移動します。
  • 自然数の組(m,n)について、m回の変換fとn回の変換gを順番に行った場合、点Pが点Qに移動する条件は、4m+3n=24k+2を満たす整数kが存在することです。最小のm+nは(5,2)の場合となります。
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回転移動と整数問題

行列A=1/2(1 -√3),B=1/√2(1 -1)で表される１次変換をそれぞれf,gとする。変換fをｍ回,gをn回適当な順序で (√3 1 ) (1 1) 繰り返すと,点P(2,0)は点Q(√3,1)に移る。このような自然数の組(m,n)のうち,m+nが最小となるものを求めよ。 解 １次変換f,gはそれぞれ原点を中心とする60°,45°の回転移動である。また,原点をOとするとOP=OQ=2 ∠POQ=30° 変換f,gはそれぞれ原点m回,n回繰り返したときの点Pの像がQとなるから60°×m+45°×n==30°+360 ×kを満たす負でない整数kが存在する。よって 4m+3n=24k+2 k=0とすると 4m+3n=2 これを満たす自然数m,nは存在しない。 k=1とすると4m+3n=26・・・・(1) nは自然数であるから,3m=26-4m>=3・１より m=1,2,3,4,5 各mの値に対して,(1)を満たすnの値を調べることにより,(1)の整数解は(2,6),(5,2) k>=2のとき,4m+3n=24k+2を満たす(m,n)について 4(m+n)>4m+3n>=24・2+2からm+n>7 したがって,m+nが最小となるものは(m,n)=(5,2) 教えてほしいところ 何のために、kの値で場合分けみたいなことしているんですか？？ また、4(m+n)>4m+3n>=24・2+2となると何故m+n>7となるんですか？？

  • luut
  • お礼率3% (22/603)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.1

こんばんわ。 ＞何のために、kの値で場合分けみたいなことしているんですか？？ 4m+ 3nの値自体が大きくなれば、m+ nの値も大きくなっていくであろうという推測から 「なるだけ小さい kの値」で満たす(m, n)がないかを「探している」ということになります。 そして、k≧ 2のときには、k＝ 1のときにとり得る最小値よりは小さくなれないことが示されます。 （下記の内容から） ＞また、4(m+n)>4m+3n>=24・2+2となると何故m+n>7となるんですか？？ どっかで見たことあるなあと思ったら、 http://okwave.jp/qa/q6219523.html の内容でした。＾＾ 参考にしてください。

参考URL：
http://okwave.jp/qa/q6219523.html
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