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整数問題◆この答案で本当にいいの?
昨日も質問したのですが、「問題がないと」という指摘があったので、再度問題文も掲載して質問させて頂きます。 問題: nを自然数とする。n,n+2,n+4がすべて素数であるのはn=3の場合だけであることを示せ。 n、n+2、n+4 1 3 5 2 4 6 3 5 7 4 6 8 5 7 9 6 8 10 答案: 1)n=3のとき、確かにn,n+2,n+4は全て素数となる。 2)n≠3のとき、n,n+2,n+4のうち少なくとも1つが合成数であることを示すために、n≠3のとき、n,n+2,n+4全てが素数となると仮定してその矛盾を示す。 (上表より、全ての場合において3の倍数があるから、) n=3k、3k+1、3k+2(k:整数)とかける。 ここから、実際に上3式をn,n+2,n+4に代入して矛盾を示していきます。 ◆質問はここから… n=3k+1のとき、 参考書では,「n+2=(3k+1)+2=3(k+1) これは合成数である」 となっているのですが、k=0のときは、 n+2=(3k+1)+2=3(k+1)=3なり、これは素数です。 k=1,2,3・・・のときは確かに合成数になりますが、k=0のときは素数。 答案を書く際、(ただしk≠0)と書いておかなくてはダメですよね? 参考書ではそのような注意がないのです。 昨日質問した際、 「問題文が書いてないのは辛いが、当然にも、k=1、2、‥‥である。」という回答を頂きました。 しかし、n=3k+1とした場合、nは自然数なのでkは負にこそならないものの、k=0のとき、n=1となり自然数であることを満たします。 何か私がとんでもない勘違いをしているだけでしょうか…。 回答よろしくお願いします。 参考までに、昨日質問したページのURLを貼っておきます。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4526910.html
- qoosh
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質問者が選んだベストアンサー
k=0のとき n=3k+1=1 で 素数でない n+2=(3k+1)+2=3(k+1)=3 で 素数、 n+4=(3k+1)+4=3k+5=5 で 素数 なので「全てが素数となる」という仮定に矛盾します。 したがってk≠0は不要です。
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- arrysthmia
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冒頭に「n≠3のとき、n,n+2,n+4全てが素数となると仮定してその矛盾を示す」 と宣言しておきながら、以降の証明では、n を 3 で割った余りで場合分けして n, n+2, n+4 のなかに実際に合成数があることを挙げているだけで、ちっとも 背理法になっていないから、話が変になるのでしょうね。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
「とんでもない勘違い」と言うほど大層なものではありませんが、 その参考書の解答例には、御指摘どおり雑なところがあります。 「答案」としては、不完全と言われるでしょう。 1) n=1 のとき、n は素数でない。 n=2 のとき、n+2 も n+4 も素数でない。 n=3 のとき、n, n+2, n+4 は 3, 5, 7 であり、全て素数である。 2) n≧4 のとき… と修正すれば、そのような揚げ足取りの余地をなくすことができます。
お礼
すごく参考になりました。 別回答例として、納得のできるものだったので次点とさせて頂きます。
- waseda2003
- ベストアンサー率50% (110/216)
「n,n+2,n+4全てが素数となると仮定して」議論を始めたのだから, n=3k+1(kは整数)のときは,必然的に k≧2 となりますよね。 また,「n,n+2,n+4全てが素数」を前提としていますから,わざわざ 「kは1以上の整数」とことわらなくても,「n,n+2,n+4全てが素数」 となるようなkの範囲で考えていることになります。 まあ,話が長くて最初に述べたことを忘れたのでしょう。 ちなみに,この問題はもっと簡単に考えることができます。 n,n+2,n+4は3で割った余りが互いに異なるので, いずれか一つは必ず3の倍数(余り0)となり, すべて素数という仮定からその3の倍数は3と一致します。 あとは n=3,n+2=3,n+4=3 の各場合に分けて吟味するだけ。
- koko_u_
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>答案を書く際、(ただしk≠0)と書いておかなくてはダメですよね? >参考書ではそのような注意がないのです。 抜けてるんでしょうね。 >答案を書く際、(ただしk≠0)と書いておかなくてはダメですよね? そして、k = 0 の場合を別に検討する必要があるでしょう。 n = 3k + 1 = 1 の場合、n + 2 は素数ですが n は素数ではありません。
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