多項式の列のx^kの係数

質問

多項式の列　f_1(x)、f_2(x)、f_3(x)、…f_n(x)を次のように定める。
f_1(x)＝ｘ＋２
f_n(x)＝(ｘ＋１)f_n-1(x)＋x^n－(n-1)ｘ＋n-1　（n≧２）
またf_n(x)のx^kの係数を　a_n,kとおく（k=0,1,2・・・）

(1)f_2(x)、f_3(x)を求めよ。
(2)a_n,0を求めよ
(3)Σ（k=0～n）a_n,kを求めよ
(4)Σ（k=1～n)ｋ＊a_n,kを求めよ

この問題を解いています
(1)はf_2(x)=2x^2+2x+3、f_3(x)＝3x^3+4x^2+3x+5
(2)はa_n,0はf_n(x)の定数項だから
　　a_n,0＝(n-1)＋(n-2)＋(n-3)＋・・・＋｛n-(n-1)｝
　　　　＝1/2　n(n-1)
としたのですがいいでしょうか？
(3)は(2)を利用していくとするとｘやx^2・・・の係数を調べなければならないと思うのですがとても難しいです。
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

g(x)
= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}
+・・・+a_1 x + a_0
としたときに，
定数項は g(0)
係数の和は g(1)
っていうのがこの手の問題のポイントです
＃興味があれば「数列の母関数」とかいうのを
＃調べると面白いかも

(1) a_{1,0} = f_1(0) = 2
a_{n,0} = f_n(0) = f_{n-1}(0) + (n-1)
= a_{n-1,0} + (n-1)
階差数列です

(2) f_1(1) = 3
f_{n}(1) = 2f_n(1) + 1 -(n-1) +(n-1)
= 2f_n(1) + 1
f_n(1)が何であるかさえわかれば
よくある漸化式です

(3) No.1さんのヒントの意味さえ分かれば
f_n'(x)
= (x+1)f_{n-1}'(x) + f_{n-1}(x)
+ nx^{n-1} - (n-1)
なので
f_n'(1)=2f_{n-1}'(1) + f_{n-1}(1) +1
(2)が解けていれば，
A_n=2A_{n-1} + F(n)のタイプの漸化式です
今回は F(n) が特殊な形なので
この漸化式もよくでるものになります．

回答No.1

eatern27

(2)
>　　a_n,0＝(n-1)＋(n-2)＋(n-3)＋・・・＋｛n-(n-1)｝
>　　　　＝1/2　n(n-1)
n=1,2,3の時に成り立ってるかどうかは調べました？

(3)
f_n(x)＝Σ（k=0～n）a_n,k　x^k
Σ（k=0～n）a_n,k
を見比べてください。

(4)
微分がヒント。