テイラーの定理、剰余項について

質問

以前に質問した者です。テイラーの剰余項について
[f^(n)(c)/n!](x-a)^n=Σ[k=n,∞]f^(k)(a)/k!](x-a)^k=[f^(n)(a)/n!](x-a)^n+[f^(n+1)(a)/(n+1)!](x-a)^(n+1)+ …
つまり、(x-a)のn乗以降の無限項和がaとxの間のcを選べば
１つの項「[f^(n)(c)/n!](x-a)^n」
で表せるということは分かりました。

これは、例えはf(x)が6次の関数のとき、f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+｛f''(c)/2!｝(x-a)^2となるcが存在するということですか？
またこのとき、6回微分すると、f(x)は定数になりますが、このとき｛f''''''(c)/6!｝(x-a)^6を剰余項とすると、他のサイトだとc=aとなっていて、これはcがaとxの間にあるということを満たさないのですが、どうせ定数でx=aを代入できないので、綺麗にするために形式上そう書くのでしょうか？

回答No.1

fusem23 · ベストアンサー

> これは、例えはf(x)が6次の関数のとき、f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+｛f''(c)/2!｝(x-a)^2となるcが存在するということですか？

そういうことですね。

> またこのとき、6回微分すると、f(x)は定数になりますが、このとき｛f''''''(c)/6!｝(x-a)^6を剰余項とすると、他のサイトだとc=aとなっていて、これはcがaとxの間にあるということを満たさないのですが、どうせ定数でx=aを代入できないので、綺麗にするために形式上そう書くのでしょうか？

f''''''(x)が定数だからと言って、x=a を代入できないということはありません。
定数だから、何を代入しても値が変わらないというだけです。

f(x) = 0x + b
という関数を例にして説明すると、これはxの関数であり、かつ、定数になります。
逆に、定数関数は、このようにして見ればxの関数でもあります。
関数とは、変数xが決まればf(x)が決まるということですから、定数（０次式）も含まれます。

定数の場合にc=aとしてしまうのは誤りですね。a<c<xのようにすべきです。
ただし、何を代入しても変わらないので、
f''''''(c) = f''''''(a)
が必ず成立し、右辺のように書いても違いはありません。
ただし、この場合だけわざわざこう書く理由もありません。

お礼

ありがとうございました！スッキリしました！またよろしくお願いいたします！