級数展開 剰余項 計算（評価）

質問

級数展開　剰余項　計算（評価）

e^xの巾級数展開について、
剰余項R(n+1)がlim[n→∞]R(n+1) = 0になれば、
e^x=Σ[n=0～∞]（（x^n）/（n!））と表せることは理解できました。

Rの係数？は実際（1/（(n+1)！））となるからe^xは巾級数展開可能
であると理解したのですが、e^xの場合lim[n→∞]R(n+1) は具体的に
どのように計算（評価）されるのでしょうか？

また、剰余項に関して、
R(n+1)やR(x^(n+1))などと表記されるようですが、なにか
違いはありますか？
それぞれの表現について教えて頂けないでしょうか？

また、C^ω級は級数展開可能である関数を表す場合に用いられると
理解したのですが、C^ω級は無限級数展開でも有限級数展開
（有限級数展開の例が思いつきませんが・・・）でもどちらでも
使用して良いのでしょうか？

また、C^ω級はテーラー展開の場合（x=0で級数展開できない場合）でも
使用して良いのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

http://okwave.jp/qa/q6694795.html の続きかな？

第一点：
その「なれば」は、已然形ですよね？

第二点：
剰余項の表示方法は、いろいろありますが…
テイラーによれば、
f(x) = Σ[k=0～n-1] (1/k！){ f^(k)(a) }(x - a)^k + R(n) について、
∃c, |c-a|<|x-a|, R(n) = (1/n！){ f^(n)(c) }(x - a)^n です。

f(x) = e^x, a = 0 のとき、R(n) = (1/n！)(e^c)(x^n) ですから、
任意の実数 M に対して、|x| < M の範囲では |R(n)| < (1/n！)(e^M)(M^n)。
この式より、n→∞ でハサミウチできますね。

第三点：
R(x^(n+1)) は、Ｏ(x^(n+1)) の見間違いかと思います。
Ｏ( ) は、「ランダウのビッグ・オー」です。
R(n+1) は、n+1 番目の剰余項という意味で添え字を付けているだけです。

第四点：
有限級数というのは、ある添え字の値以降の項が全て 0 であるような
無限級数のことです。特別なことは、何もありません。

第五点：
Ｃ^ω級か否かは、各点において判定されることです。
拡張として、ある集合の全ての点においてＣ^ω級であることを
その集合においてＣ^ω級とか言ったりもします。

f(x) が x=a を中心としてテイラー展開可能なら、
f は a においてＣ^ω級であるし、
不可能なら、Ｃ^ω級ではない。それだけです。

f(x) が x=a 中心ではテイラー展開可能で、
x=b 中心ではテイラー展開可能でないならば、
a を含み b を含まない区間においては、Ｃ^ω級であると言えます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解出来ました。

回答No.1

kabaokaba

あなたの持ってる教科書には
なんて書いてあるのですか？
すべて普通の教科書なら書いてありそうなことばかりが
質問されてます．

>e^xの巾級数展開について、
>剰余項R(n+1)がlim[n→∞]R(n+1) = 0になれば、

「なれば」ではなく「なるん」です．
これは重要な例ですから
大抵の教科書にでてるはずです．

e^xのTaylor展開の剰余項については
Taylor展開の定理で与えられている一般の剰余項を
e^xに適用すればでてきます．
また，
n次までのTaylor展開の剰余項は
（関数からでてくる部分）x^{n+1}
という形になることもTaylorの定理から分かります．
したがって，x^{n+1}を強調したければ
剰余項をR(x^{n+1)と書くだろうし
x^{n+1}であることは当たり前で次数だけで十分だと考えれば
R(n+1)とかくというだけで
こんなのは単なる表記の問題にすぎません．

C^ωに関して，有限級数が思いつかないって・・・
f(x)=x
は立派な「級数展開」であり，C^ωです．

>また、C^ω級はテーラー展開の場合（x=0で級数展開できない場合）でも
>使用して良いのでしょうか？

きちんと記号の定義を見直しましょう．
級数展開にはきちんと「条件」がついているはずです．
開区間Iでn階微分可能とか，何かが連続だとかときちんと書いてませんか？
ですので，そういうIで考えている場合は
厳密にはC^ω(I)とか書くのです．
実数Rの全ての点で級数展開可能であるなら
C^ω(R)です．
x=0で級数展開できないのであれば
x=0の近傍でC^ωではないのは自明です．

実際はほとんどの場合において，級数展開は
ある特定の一点aの近傍だけで考えることが多いので
aの近傍Iをとって
IでC^ωな関数の集合C^ω(I)を考え
C^ω_a = ∩ C^ω(I) （共通部分はaの全ての近傍Iに関するもの）
なんてものを考えるのですが，
これはおいおいでてくるでしょう（germ（芽）という概念）．