有限なべき級数

質問

調和振動子の波動関数はψ(x)は次式で表される。
ψ(x)={e^(-(ξ^2)/2)}*f(ξ) [ ξ=αx, α=√{(mω)/(h/2π)} ]
f(ψ)=Σ(k=0→∞)(C_k)*(ξ^k)
C_(k+2)=[(2k-η)/{(k+2)(k+1)}]*C_k

ここでもし、f(ψ)が無限級数であるとすると、ψ(x)~e^{(α^2x^2)/2}となり、lim[x→±∞]ψ(x)=∞となり(|ψ(x)|)^2が確率密度となる必要条件に反する。
従ってf(ψ)は有限級数とする必要がある。

ここでC_(k+2)=[(2k-η)/{(k+2)(k+1)}]*C_kに着目する。η=2n(nは0以上の整数)とおくと、C_(k+2)=[(2k-2n)/{(k+2)(k+1)}]*C_kとなる。この式において、k=0,1,2•••と変化させるとk=nの時C_(n+2)=0となり、これ以降C_(n+4)+C_(n+6)+C_(n+8)=•••=0となり、f(ξ)は有限なべき級数となる。

質問です。
C_(k+2)=[(2k-2n)/{(k+2)(k+1)}]*C_kの式において、k=0,1,2•••nと変化させるとk=nのときC_(n+2)=0となり、続いて
C_(n+4)+C_(n+6)+C_(n+8)=•••=0になるのは分かりますが、C_(n+3),C_(n+5),••••については0にならないのではないでしょうか？例えばn=3のとき、C_5,C_7,C_9=••••の方は=0となりますが、C_6,C_8については0にならず、f(ξ)=C_0+(C_1)ξ+(C_2)ξ^2+(C_3)ξ^3+(C_4)ξ^4+0+(C_6)ξ^6+0+(C_8)ξ^8+••••となって、f(ξ)は有限な値に落ちつかないのではないかと考えているのですが、詳しい方教えてください。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

具体的に例えばn=4のとき、「C_0が何であっても」C_6 = 0であって、以降C_8 = 0, C_10 = 0....となります。ではC_1, C_3, C_5, .... についてはどうなのかというと、こちらについては「C_1 = 0なら」C_3 = 0, C_5 = 0,...となって問題ない。

今度は、n=3のとき、C_1が何であってもC_5 = 0であって、以降C_7 = 0, C_9 = 0, .... となります。ではC_0, C_2, C_4, .... についてはどうなのかというと、今回はC_0 = 0なら問題ない。

つまり、C_kについては、「有限個の奇数項だけnon-zeroで、あとは（偶数項も含めて）0」もしくは「有限個の偶数項だけnon-zeroで、あとは（奇数項も含めて）0」のどちらか、ということになります。

お礼

回答ありがとうございます。
C_kについて偶数項・奇数項は全て同時に0にならければならないものだと私は思っていましたが、実際には偶数項・奇数項のどちらか片方が0になるわけですね。
助かりました!!