数学3の級数の問題がわかりません。

質問

数学3の級数の問題がわかりません。

極限 lim[n→∞] (1/n)•{(n+1)(n+2)••••(n+n)}^(1/n)
を求めよ。

lim[n→∞](1/n)Σ[k=1→n]f(k/n)=∫[0→1]f(x)dx
という公式はしってます。

お願いします！

回答No.3

yuukik2a · ベストアンサー

補足：
●logをとったのは1/n乗を消すためです。こんなのがあると極限計算は難しいですから・・・。logをとると1/nはlogの前に出せて、ただの1/n倍になりますからね。しかも公式
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1→n]f(k/n)=∫[0→1]f(x)dx
の1/nの部分として使えますし・・・
●式の３行目（回答２の５行目）で式の前半部分のlog(1/n)をn個の(1/n)log(1/n)に分けたのは、後半部分のn個の
(1/n)log(n+1),(1/n)log(n+2),...,(1/n)log(n+n)
それぞれと(1/n)log(1/n)を足し合わせることで
(1/n)log(1/n)+(1/n)log(n+k)=(1/n)log(1+k/n) (k=1,2,...,n)
というふうに式を簡素化し、k/nという形を導出するためのものです

私はこの問題を高校の授業で解いたのですが、解けていた人は周りにほとんどいなかったと思います。

お礼

な、なるほど。。苦笑

これは自分ではまず無理でしたw

なるほど、よくわかりました。

むずかしいですね。。

東大とは、恐れ入ります。。

個人的におしえてもらいたいぐらいですw

受験がんばります。

回答No.2

yuukik2a

では詳しく説明します。
まずlogをとって
log(1/n){(n+1)(n+2)...(n+n)}^(1/n)
=log(1/n) +log{(n+1)(n+2)...(n+n)}^(1/n)
=n*(1/n)log(1/n) +log(n+1)^(1/n)+log(n+2)^(1/n)+...+log(n+n)^(1/n)
=n*(1/n)log(1/n) +(1/n)log(n+1)+(1/n)log(n+2)+...+(1/n)log(n+n)
={(1/n)log(1/n)+(1/n)log(n+1)}+{(1/n)log(1/n)+(1/n)log(n+2)}+...+{(1/n)log(1/n)+(1/n)log(n+n)}
=(1/n)log(1/n)(n+1)+(1/n)log(1/n)(n+2)+...+(1/n)log(1/n)(n+n)
=(1/n){log(1+1/n)+log(1+2/n)+...+log(1+n/n)}
=(1/n)Σlog(1+k/n)
ここでn無限大として
lim[n→∞] log(1/n){(n+1)(n+2)...(n+n)}^(1/n)
=∫[0→1]log(1+x)dx
t=1+xとおくとdt/dx=1
xが0→1のときtは1→2
よって
∫[0→1]log(1+x)dx
=∫[1→2]logtdt
=∫[1→2](tlogt-t)'dt
=(2log2-2)-(1log1-1)
=2log2-1
=log4-loge
=log(4/e)
よって求める答えは4/e

間違ってたらごめんなさい。。ちなみに東大です

回答No.1

yuukik2a

１８歳の理系大学生です
(1/n){(n+1)(n+2)...(n+n)}^(1/n)
全体にeを底とする対数をとってみれば、公式が使えるのがわかると思いますよ。わからなければ、さらに詳しく答えます。頑張って

補足

OKwaveは補足は一回しかできないんですかね、

すいません、
わかりません。。

(n+1)(n+2)•••(n+n)とかどうするかわかりません。

ちなみにどこの大学なんでしょうか。