数学の問題ですお願いします(>_<)

質問

数学の問題ですお願いします(>_<)

lim ( lim ( cos(m!πx) )^(2n) )
m→∞ n→∞
の極限値をもとめ、さらにεーδ論法を使って証明しなさい。
^(2n)は2n乗の意。

お願いします(>_<)

回答No.1

c0nfus1an1sm

・x が有理数 p/q (p:整数，q:正整数) のとき，
　十分大きな整数 m >q を取ると m!*x を整数にできます．
　この時 cos(m!*x*π) = ±1 ですから
　　lim[n→∞] ( cos(m!πx) )^(2n) = 1
　が成り立ちます．したがってこの時の極限値は１です．
・x が無理数のとき，
　x は分数の形には表せないので，いかなる整数 m に対しても m!*x を整数にできません．
　したがって | cos(m!*x*π) | < 1 がすべての整数mで成立するので，
　　lim[n→∞] ( cos(m!πx) )^(2n) = 0 (mは任意の整数)
　したがってこの時の極限値は０です．