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数学の問題がわかりません＞＜
数学の問題がわかりません！よければ教えてください＞＜ I = [0,∞)とおく。 f , f_n ; I → R はI上で有界な関数とし、関数列{f_n}[n=1,∞]は関数 f に I 上で一様収束するとする。 (1) 各n∈Nに対してlim[x→∞]f_n(x) = a_n ∈Rが成り立つならば、数列{a_n}[n=1,∞]はCauchy列であることを示せ。 (2) (1)と同じ条件の下でlim[n→∞]a_n = A とおくとき、lim[x→∞]f(x) = Aであることを示せ。 回答よろしくお願いします！
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(1)まず自然数 m, n と x∈I に対して | a_m - a_n | = | (a_m - f_m(x)) + (f_m(x) -f(x)) + (f(x) -f_n(x)) + (f_n(x) - a_n )| ≦ | a_m - f_m(x) | + | a_n - f_n(x) | + | f_m(x) -f(x) | + | f_n(x) -f(x) | ---(A) が成り立ちます．ここで，任意に正数εが与えられたとき， ・各 n∈N に対し lim[x→∞]f_n(x) = a_n ですから，正数 R が存在して次が成り立ちます． x > R ならば | a_n - f_n(x) | < ε/4 かつ | a_m - f_m(x) | < ε/4． ・また関数列{f_n}[n=1,∞]は関数 f に I 上で一様収束するので，自然数n_0が存在して次が成り立ちます． m, n > n_0 ならば，任意の x∈I に対して | f_m(x) -f(x) | < ε/4 かつ | f_n(x) -f(x) | ε/4． 以上から，不等式 (A) より，任意の正数εに対して，任意の自然数m, n >n_0に対して | a_m - a_n | < ε となるので，数列{a_n}[n=1,∞]はCauchy列です． (2)同様に，自然数 n と x∈I に対して次の不等式 | f(x) - A | ≦ | f_n(x) - a_n | + | f(x) - f_n(x) | + | a_n - A | ---(B) が成り立ちます．任意に正数εが与えられたとき， ・各 n∈N に対し lim[x→∞]f_n(x) = a_n ですから，正数 R が存在して次が成り立ちます． x > R ならば | a_n - f_n(x) | < ε/3． ・また関数列{f_n}[n=1,∞]は関数 f に I 上で一様収束するので，自然数n_0が存在して次が成り立ちます． n > n_0 ならば，任意の x∈I に対して | f_n(x) -f(x) | ε/3． ・lim[n→∞]a_n = A なので，自然数n_1が存在して次が成り立ちます． n > n_1 ならば | a_n - A | ε/3． 以上から，不等式 (B) より，任意の正数εに対して，任意の x>R に対して | f(x) - A | < ε となり lim[x→∞]f(x) = A が証明できました．
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お礼
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