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難しい数学の問題を解きたい人募集

  • 質問No.9766920
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お礼率 0% (0/25)

実数xに対し{x}でxに最も近い整数との距離を表す。この時[0,1]上の関数の列f[n]を
f[n](x)=Σ[k=0→n] {(10^k)x}/10^k とおく
f(x)=lim[n→∞] f[n](x),x∈[0,1] により定義される関数fは連続であることを示せ

なにもわかりません
この問題の解き方を教えてください

回答 (全3件)

  • 回答No.3

ベストアンサー率 66% (94/141)

> f[n](x) = Σ[0≦n<∞] g[n](x)に対し
正しくは「 f[n](x) = Σ[0≦k≦n] g[k](x)に対し」です
  • 回答No.2

ベストアンサー率 66% (94/141)

では: Rを実数体とする

今 || f || = sup { f(x) | x∈R } とおく。

g(x) = {x}に対して || g || = 1/2であるから、g[n](x) = g(10^n x) /(10^n)に対し || g[n] || = (1/2) / (10^n)。 0≦ g[n](x) ≦ ||g[n]||で、Σ[0≦n<∞] ||g[n] || = 1/2 * 10/9 であるゆえ、WeierstrassのM testにより、 f[n](x) = Σ[0≦n<∞] g[n](x)に対し、f(x)=lim[n→∞] f[n](x)の収束は一様収束である。

任意の自然数に対し、g[n](x)は連続である。よって、f(x)は連続関数列の一様収束の極限であるから、連続である。
  • 回答No.1

ベストアンサー率 66% (94/141)

WeierstrassのM判定法とか、連続関数列の一様収束とか、その辺って分かりますか?
補足コメント
abcxz890

お礼率 0% (0/25)

わかります
とりあえず回答を見てみたいので
よろしければお願いします
投稿日時:2020/07/01 16:32
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