関数解析の問題です。。

質問

１．{xn}(n=1,∞)はバナッハ空間Xの点列でxに弱収束し、{ξn}(n=1,∞)はXの双対空間X’の点列でξに強収束するものとする。このとき数列{<xn,ξn>}は<x,ξ>に収束することを示せ。

２．{xn}(n=1,∞)はヒルベルト空間Xの点列でxに弱収束し、数列{||xn||_X}は||x||_Xに収束するものとする。このとき{xn}(n=1,∞)はxに強収束することを示せ。

１、２ともに{xn}が弱収束するので、ｆを有界線形汎関数として
||f(xn)-f(x)||<ε　　for ∀ε
と仮定できます。
１の場合、これにプラスして仮定から
||ξn-ξ||<ε
とでき、このとき
∀ε>0に対して∃N s.t. ||<xn,ξn>-<x,ξ>||<ε
を示せばいいんですよね？

このあとどのように||<xn,ξn>-<x,ξ>||を変形したらいいのかわかりません。
２についてもどのように変形していけばいいのかわかりません。

どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

<x,ξ>：＝ξ(x)で良いんでしょうか。
とりあえず１だけ。
弱収束から||xn||は有界なので
||xn||≦Ｍ
とします。(バナッハ・シュタインハウスの定理)
|<xn,ξn>-<x,ξ>|
＝|<xn,ξn>-<xn,ξ>+<xn,ξ>-<x,ξ>|
≦|<xn,ξn>-<xn,ξ>|+|<xn,ξ>-<x,ξ>|
＝|<xn,ξn-ξ>|+|<xn-x,ξ>|
≦||xn||||ξn-ξ||+|<xn-x,ξ>|
≦Ｍ||ξn-ξ||+|<xn-x,ξ>|
ここまで変形すれば十分でしょう。

お礼

ありがとうございます！
これを参考にして２をやってみたいと思います。

できたら補足に回答を記しますので、時間があったら見てやっていただきたいです。

補足

２なんですが・・・

||xn-x||^2=||xn||^2+||x||^2-2Re(xn,x)

を用いて条件から右辺は０にとぶのでxn→x（強収束）となる
でよろしいのでしょうか？

回答No.2

rinkun

Re(xn,x)という記述は良くわかりませんが
||xn-x||^2＝<xn-x,xn-x>＝<xn,xn>-<xn,x>-<x,xn>+<x,x>
＝||xn||^2-<xn,x>-<x,xn>+||x||^2
→||x||^2-<x,x>-<x,x>+||x||^2＝0
で良いのではないでしょうか。
# 最初の項は仮定から、後の2項は弱収束から

お礼

回答ありがとうございます！

そうですね。そちらの方がわかりやすいですね！ありがとうございます！
お世話になりました。